Limite d'une intégrale

Bonjour,
Je bute sur cette limite, dont je subodore qu'elle doit être simple, =2, avec la formule de la moyenne.
limite pour x tend vers 0 de intégrale de cos(t)/t de x à 3*x..
cordialement
Cadiou

Réponses

  • Développement limité.
  • Très limité.
  • Bonjour,

    L'intégrale existe ?

    Le mieux est de calculer proprement. Pense à un changement de variables ou bien à réécrire l'intégrande comme la somme de deux fonctions dont l'une est majorée par une fonction dont l'intégrale sur $ [x,3x]$ avec $x>0$ s'annule quand $x$ tend vers $0.$

    $\ln 3$
  • on trouve donc Ln(3), c'est ça?
  • Le plus simple est d' apliquer le TDC à $$\int_1^3 \frac {\cos(xu)}{u}du$$
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Le plus simple à mon avis c'est d'écrire : $\cos t=1+t\varepsilon (t)$, $\lim_{t\rightarrow 0}\varepsilon (t)=0$.
    Il en résulte : $\int_{x}^{3x}\frac{\cos t}{t}dt=\int_{x}^{3x}\frac{1}{t}(1+t\varepsilon(t))dt=\int_{x}^{3x}\frac{1}{t}dt+\int_{x}^{3x}\varepsilon (t)dt=\ln 3+\varepsilon _{1}(x)$, avec $\lim_{x\rightarrow 0}\varepsilon _{1}(x)=0$. Et c'est tout.

    Remarquons que c'est une étape pour calculer l'intégrale de Cauchy-Frullani $I=\int_{0}^{+\infty }\frac{\cos t-\cos 3t}{t}dt$ dont nous avions parlé il y a peu.
    J'avais suggéré de poser $I(x)=\int_{x}^{+\infty }\frac{\cos t-\cos 3t}{t}dt$ pour $x>0$, et il vient immédiatement : $I(x)=\int_{x}^{3x}\frac{\cos t}{t}dt$, d'où quand $x \rightarrow 0$ : $I=\ln 3$.
    Mais là aussi, d'autres ont préféré chercher midi à quatorze heures.

    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • Ou bêtement, si $x$ est positif et assez petit, $\cos$ est décroissante sur $[x;3x]$, donc $\cos(3x)\leqslant \cos(t)\leqslant \cos(x)$ pour tout $t\in [x;3x]$. On encadre alors l'intégrale et on passe à la limite.
    Même boulot quand $x$ est négatif.
  • OK, merci pour vos réponses, bonsoir..
  • Franchement y a-t-il plus simple que $\int_x^{3x} \frac {\cos t}{t}dt=\int_1^3 \frac {\cos(xu)}{u}du\to \int_1^3 \frac {1}{u}du=\ln(3)$ ?
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Oui je trouve que ma solution est plus simple en ce qu'elle ne fait appel qu'aux développements limités (première année), sans recours à la grosse artillerie de la Convergence Dominée (deuxième année, et admis). Mais bon, chacun fait comme il veut.
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • Il semble te voir dire qu'on ne peut pas démontrer la continuité de F définie par $$F(x)=\int_a^b f(t,x) dt$$ sans le recours au TDC
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • @Gebrane
    Je suis très satisfait qu'on ait introduit dans le programme de classes prépas les théorèmes de domination (TCD en français), même s'ils sont seulement admis et non démontrés. Ils permettent effectivement de traiter confortablement des intégrales à paramètres. On pouvait le faire auparavant, mais seulement dans certains cas, et au prix de calculs compliqués et tributaires de la spécificité du problème posé.
    Le présent problème ne porte pas initialement sur une intégrale à paramètre, c'est toi qui as choisi de le traiter ainsi, pour dire ensuite qu'on ne peut procéder autrement. La solution que je propose évite ce détour et elle est présentable en première année. Mais encore une fois chacun fait ce qui lui plaît.
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • Et tiens, si mes $\varepsilon$ ne convainquent pas, voici une méthode « globale ».
    Pour $x>0$ on a : $\int_{x}^{3x}\frac{\cos t}{t}dt=\int_{x}^{3x}\frac{1}{t}dt-\int_{x}^{3x}\frac{1-\cos t}{t}dt$.
    On connaît les inégalités : $0 \le 1-\cos t=2\sin ^{2}\frac{t}{2}\leq 2(\frac{t}{2})^{2}=\frac{t^{2}}{2}$.
    On en déduit : $0\leq \int_{x}^{3x}\frac{1-\cos t}{t}dt\leq \int_{x}^{3x}\frac{t}{2}dt$. Etc.
  • Je dépose les armes. Tu as gagné.
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