Partie entiére

Les deux inégalités correspondent aux inégalités $E(nx) \leq nx < E(nx)+1$, par définition de la partie entière.

Eh bien utilise à la fois $E(nx) \leq nx < E(nx)+1$ et $nE(x) \leq nx < nE(x)+n$.

Oui. il est facile de voir que ta fonction (appelons-la $f$) est $1$-périodique, constante sur les $\left[\frac{k}{n}, \frac{k+1}{n}\right[, 0, \leq k \leq n-1$, et que si $0 \leq x < 1-\frac{1}{n}$ alors $f\left(x+\frac{1}{n}\right) = f(x) + 1$. Comme $f(0)=0$, on a en particulier $f\left(1-\frac{1}{n}\right) = n-1$, ce qui peut se retrouver directement par calcul : $$f\left(1-\frac{1}{n}\right) = E(n-1) - nE\left(1-\frac{1}{n}\right) = n-1.$$