Bijection et fonction arithmétique

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Réponses

  • Franchement je ne comprends rien à la récurrence. Je ne vois pas l'idée. Je laisse tomber cette preuve, c'est trop compliqué pour moi.

    Ne te fatigues pas à essayer de me l'expliquer, je n'ai pas le niveau. Trop théorique et technique pour moi. Mais c'est gentil de m'avoir aidé. J'ai finalement réussi à faire mes changements de variable. J'ai réussi à trouver les bijections et les bijections inverses.
    Donc au moins j'ai compris quelques chose sur lequel je butais :-P

    C'est peut être moins galère en utilisant les permutations comme l'a suggéré Siméon.

    Sinon je trouve $\phi(d,e)=(e,\dfrac{d}{e},\dfrac{n}{d})$.
    J'ai trouvé $\phi^{-1} (d_1,d_2,d_3)=(d_1 d_2,d_1)$.
    Posons $u(d,e)=f(e)g(\dfrac{d}{e})h(\dfrac{n}{d})$

    Ainsi $\displaystyle\sum_{d \mid n , e \mid d} u(d,e) = \displaystyle\sum_{(d_1,d_2,d_3) \in C_n '} u( \phi^{-1} (d_1,d_2,d_3)) \\
    = \displaystyle\sum_{(d_1,d_2,d_3) \in C_n '} u(d_1 d_2 ,d_1) = \displaystyle\sum_{(d_1,d_2,d_3) \in C_n '} f(d_1) g(\dfrac{d_1 d_2}{d_1}) h(\dfrac{n}{d_1 d_2}) = \displaystyle\sum_{(d_1,d_2,d_3) \in C_n '} f(d_1) g(d_2) h(d_3) $

    J'en aurai un autre à faire...

    Soit $(m,n)$ des entiers naturels non nuls tel que $PGCD(m,n)=1$.
    L'application $\pi : D_n \times D_m \longrightarrow D_{mn} \\ (d_1,d_2) \mapsto d_1 d_2$ est bijective. Je l'ai démontré. Je cherche à montrer l'égalité suivante :

    $\displaystyle\sum_{d \in D_{nm}} f(d) g(\dfrac{nm}{d}) = \displaystyle\sum_{(d_1,d_2) \in D_n \times D_m} f(d_1 d_2) g(\dfrac{nm}{d_1 d_2})$


    Je pose $u(d)= f(d) g(\dfrac{nm}{d})$. Ici il est inutile de calculer $\pi ^{-1}$ car on est dans le "bon sens".

    $\displaystyle\sum_{d \in D_{nm}} f(d) g(\dfrac{nm}{d}) = \displaystyle\sum_{(d_1,d_2) \in D_n \times D_m} u( \pi (d_1,d_2) ) \\
    =\displaystyle\sum_{(d_1,d_2) \in D_n \times D_m} f(d_1 d_2) g(\dfrac{nm}{d_1 d_2})$
  • C'est juste (tu).
  • Ok merci.

    Par contre, dans les livres du supérieur, je n'ai jamais vu la démonstration du résultat donné par chat-maths.

    Ce n'est pas démontré en prépa.
  • @OShine tu parles de ce résultat : $\sum\limits_{x \in E}u(x) = \sum\limits_{y \in F}u(f^{-1}(y))$ ?

    Je pense que ce n'est pas démontré parce que c'est évident et que si on veut tout bien écrire comme il faut, c'est assez pénible comme tu as pu t'en rendre compte.


    PS. d'ailleurs cette formule devrait être évidente pour toi avant même d'essayer de la démontrer. Dans la somme de gauche, tu calcules la somme des éléments de la famille $(u(x))_{x \in E}$. Dans la somme de droite tu calcules la somme des éléments de la famille $(u(f^{-1}(y)))_{y \in F}$. Mais ces deux familles contiennent exactement les mêmes éléments avec les mêmes occurrences donc l'égalité est évidente...
  • Oui les profs du supérieur ne la démontrent pas en général, car elle est "évidente" comme l'a dit Raoul, D'ailleurs, toi-même tu as vu l'évidence: tu as écrit "Je pose $E = \{x_1,\cdots, x_n\}$, $F = \{f(x_1),\cdots, f(x_n)\}$, et on a bien $\cdots$". D'ailleurs, certains ne l'énoncent même pas.

    Je persiste à penser que prendre un truc "évident", et le prouver rigoureusement, en se coltinant les détails techniques et "pénibles" est un bon exercice: ça t'oblige à passer de l'évidence "dans ta tête" à une évidence rigoureusement prouvée. Bref, à passer de "ce que tu as envie de dire", à du bon langage mathématique formel. C'est (je pense) un très bon exercice (pas que cette formule, mais ce procédé en général) pour apprendre à transformer ses idées "intuitives" en langage math.
    Se coltiner se genre de rédactions est aussi une bonne manière de comprendre quelles hypothèses sont nécessaires. Ici par exemple, la commutativité est au centre de tout. Si on était dans un truc non commutatif, cette formule serait en défaut.
    Une rédaction propre de la formule aurait été le genre de truc que cc aurait pu te demander en exercice.

    Sans surprise, elle est prouvée dans Bourbaki, à la huitième page du chapitre I d'algèbre, sous l'humble nom "théorème de commutativité". Et sans surprise, la preuve est exactement le même genre d'idée que la récurrence que j'ai proposé: "Si les derniers termes sont égaux, on conclut par récurrence, sinon, on échange des termes pour que les derniers termes soient les mêmes et on conclut".

    Bien joué pour les deux autres changements de variables. Tu devrais t'entrainer sur quelques autres exemples (e.g des sommes doubles etc) pour bien te faire la main.
  • OShine a écrit:
    C'est peut être moins galère en utilisant les permutations comme l'a suggéré Siméon.

    Sur le fond ça ne change rien. L'intérêt est juste de séparer plus clairement les arguments en s'appuyant sur des choses connues :
    1. On montre par récurrence que $S_n : x \mapsto \sum_{i=1}^n x(i)$ est invariante par toute transposition $\tau$ de deux indices consécutifs, c'est-à-dire que $$\forall x,\ S_n(x) = S_n(x \circ \tau).$$
    2. Puisque les transpositions du type précédent engendrent $\mathfrak S_n$, on en déduit que $S_n$ est invariante par toute permutation.
  • @chat-maths
    Encore faut-il comprendre l'idée. Je ne capte pas les différents cas avec le $x(n+1)$.

    Du coup j'ai le même problème qu'avec la méthode de chat-maths, je ne comprends pas quoi faire avec le $(x \circ \tau) (n+1)$

    $S_{n+1} (x \circ \tau)= S_n(x)+ (x \circ \tau) (n+1)$

    Après je ne vois pas.
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