Démonstration par récurrence

kirou
kirou
dans Analyse
Bonjour
S'il vous plaît une idée sur comment montrer ça.
$$4^{n+1}\ge 3(4n^2-1),\qquad\forall n

$$ Je n'ai pas d'idée pour montrer que si c'est vrai pour $n$ alors c'est vrai pour $n+1$.
Merci.

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Par hypothèse de récurrence au niveau $n \in \mathbb N$, $3(4(n+1)^2-1) = 3(4n^2 + 8n + 3) = 3(4n^2-1) + 8n + 6 \leq 4^{n+1} + 8n+6$ et il n'y a plus qu'à montrer que $8n+6 \leq 3 \times 4^{n+1}$, ce qui peut se montrer par récurrence aussi !
  • kirou
    kirou
    Supposons que c'est vrai pour $n$, $ 8n+6\leq 3.4^{n+1}$.
    $ 8(n+1)+6=8n+8+6< 3.4^{n+1}+8 $.

    Comment arriver à [ce] que $3 .4^{n+1}+8\leq 3. 4^{n+2}$.
    S'il vous plaît ?
  • bd2017
    bd2017
    Bonjour
    Perso dans la récurrence j'essaie de me débarasser des puissances de 4 .

    On a $ 4^{n+1}\geq f(n)$ (avec $f(n) =3 *(4n ^2-1)$)
    Donc $ 4^{n+2}\geq 4 f(n)$
    Mais $4 f(n)-f(n+1) =36 n^2-24 n+21$ qui est positif à partir d'un certain rang (à déterminer $n=3$ ?)
    Donc $ 4^{n+2}\geq f(n+1)$.

    Reste à voir pour les petites valeurs de $n$.
     
  • Chaurien
    Chaurien
    Le mieux est de démontrer $4^{n+1} > 3\cdot 4n^2$, soit : $4^n > 3 n^2$, qui tombe tout seul pour ainsi dire.
  • Chaurien
    Chaurien
    Ou bien on prouve que la suite $u_n= \frac {n^2}{4^n}$ est décroissante.
  • kirou
    kirou
    vous oubliez le -1 !
  • lourrran
    lourrran
    Si a>b , alors on a aussi a>b-1 , donc oublier le 1 n'est pas un problème.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
    L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara.
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