Continuité d'une fonction

kirou
kirou
dans Analyse
Bonsoir j'ai deux fonctions $f(x)=\begin{cases}1,& x\in\mathbb{Q}\\0, &x\notin \mathbb{Q}\end{cases}\ $ et $\ g(x)=x^2(x-1) f(x).$
La question est d'étudier la fonction $g$.

$f$ n'est pas continue mais je ne sais pas comment étudier la fonction $g$.
$g(x)=\begin{cases} x^2(x-1),& x\in\mathbb{Q}\\ 0,& x\notin\mathbb{Q}.
\end{cases}$
Merci.

Réponses

  • zephir
    zephir
    Bonsoir,
    La question est : étudier la continuité de $g$ en un point $x\in \R$
  • kirou
    kirou
    Si $x\in \mathbb Q$ alors la fonction est continue mais comment faire entre $\mathbb Q$ et son complément ?
  • bisam
    bisam
    Il faut appliquer la définition de la continuité (avec des $\epsilon$) ou bien la caractérisation séquentielle (avec des suites).
    Il faut également utiliser la densité de $\Q$ dans $\R$.
  • gebrane
    gebrane
    bisam, il faut ou bien il suffit !
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • kirou
    kirou
    Mais ou prendre x ?

    Si x est dans Q ou dans le complément alors la fonction est continue, mais comment faire entre deux on travaille avec les suites ?
  • kirou
    kirou
    S'il vous plaît expliquez-moi comment utiliser la densité de Q ?
  • bisam
    bisam
    gebrane : je savais en l'écrivant que quelqu'un me reprendrait à ce sujet. J'aurais dû utiliser l'impératif (:P)
    Ceci étant, je serais curieux de voir quelqu'un qui démontre la continuité ou la non continuité de cette fonction en un point sans utiliser ni la définition, ni la caractérisation séquentielle.
  • kirou
    kirou
    Dites moi si c'est juste s'il vous plaît.

    $g$ est continue en $0$ et en $1$ uniquement.

    Par la densité de $\Q$ dans $\R$ tout point $a\notin\{0,1\}$ est une limite de deux suites une rationnelle $u_n=(E(na)/n)$ et une suite irrationnelle $v_n=(E(n\sqrt{3}a)/n)$.
    $u_n$ et $v_n$ tendent vers $a$ mais $g(u_n)\to a^2(a-1)$ et $g(v_n)\to 0$.

    Donc la limite de $g(x)$ n'existe pas donc $g$ n'est pas continue en $a\in \mathbb{R}\setminus\{0,1\}$.
  • gebrane
    gebrane
    bisam
    Pour la discontinuité sur $\mathbb R\setminus\{0,1\}$ sans les epsilon ni les suites mais en supposant qu'on connaît déjà que $f=\mathbf 1_{\Q}$ est discontinue sur $\mathbb R$
    Soit $D=\mathbb R\setminus\{0,1\}$, alors $x\mapsto \dfrac 1 {x^2(x-1)}$ est continue $D$ et puisque $f(x)=\dfrac {g(x)}{ x^2(x-1)}$ alors nécessairement $g$ est discontinue sur $D$.
    Mais avant de me le demander, je vais réfléchir sur un moyen pour voir la discontinuité de $f$ sans les epsilon ni les suites.

    Edit peut-être (au milieu de la nuit) ceci : si $f$ est continue en $a$ alors $f$ est continue dans un voisinage $V_a$ ouvert connexe de $a$ et donc $f(V_a)$ est connexe ce qui nécessite que $f$ doit être constante sur $V_a$.
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • omega
    omega
    gebrane a écrit:
    si $f$ est continue en $a$ alors $f$ est continue dans un voisinage $V_a$ ouvert connexe de $a$

    Non. Tu devrais pouvoir trouver un contrexemple tout seul en t'inspirant des fonctions étudiées dans ce fil.
  • gebrane
    gebrane
    Omega c’était au milieu de la nuit [/url] éblouie par la nuit
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • kirou
    kirou
    Pour la continuité en 1 avec $\varepsilon$

    $\varepsilon>0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R},\ |x-1|<\delta\Rightarrow |g(x)-g(1)|<\varepsilon$

    Soit $\varepsilon >0$ et $x\in\mathbb{R}.$
    Si $x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ ca marche pour n'importe quel $\delta>0.$
    Si $x\in \mathbb{Q}$ alors on choisit par exemple $\delta=\min(2,\varepsilon/4)$.

    C'est juste ?
  • gebrane
    gebrane
    pourquoi tu compliqués? la continuité est gratuite en 0 et 1 avec le théorème des gendarmes
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • kirou
    kirou
    Comment s'il vous plaît
  • gebrane
    gebrane
    Bah! $|g(x)|\leq x^2|x-1|,\, \forall x\in \R$
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


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