Centre d’un groupe

feru
feru
dans Algèbre
Bonjour

Si $G$ est un groupe tel que la somme et le produit de tous ses éléments aient un sens, on a pour tout $\rho \in G$, $S :=\sum_{g \in G} g=\sum_{g \in G} \rho g \rho^{-1}=\rho (\sum_{g \in G} g)\rho^{-1}$. Donc, $S\rho=\rho S$ et $S \in Z(G)$. Je prouve de même que $P:= \Pi_{g \in G} g \in Z(G)$.
Est-ce qu’il y a une erreur quelque part? Merci

Réponses

  • noobey
    noobey
    Hello ! Comment tu fais pour P?
  • gerard0
    gerard0
    Heu ... un groupe avec deux opérations ? Quelle est l'opération qui en fait un groupe ? Et que sait-on sur l'autre ?

    A moins qu'il s'agisse d'un ensemble G et de deux opérations sur G, + et * telles que (G,+) est un groupe et (G,*) soit un groupe. Mais alors pour lequel des deux groupes (G,+) et (G,*), la notation Z(G) désigne-t-elle "le centre" ? Car dans ce cas, il y en a deux (comme à priori il y a deux éléments neutres).

    Cordialement.
  • Siméon
    Siméon
    Tu supposes que la somme des éléments de $G$ a un sens, mais cette somme est-elle un élément de $G$ (ce serait la moindre des choses pour un élément du centre) ? Si par exemple on considère le groupe des racines $n$-ièmes de l'unité dans $\C$, la somme des éléments vaut $0$... De plus ton calcul utilise visiblement des propriétés de commutativité/additivité/distributivité qu'il faudrait préciser. Bref, quelle est la structure dont tu pars ?
  • feru
    feru
    Pardon, en effet j’aurais dû être plus précis. Je voulais dire « pareil pour un groupe multiplicatif ».
    Pour $P$, on écrit $(\rho g \rho^{-1})(\rho g’ \rho^{-1})=\rho (gg’) \rho^{-1}$.
    Je suppose aussi que le groupe additif et le groupe multiplicatif sont abéliens.
  • feru
    feru
    Et donc du coup, ma question ne se pose plus...
    Désolé...
  • Poirot
    Poirot
    Tu sembles vraiment confus par les notations additives et multiplicatives. Dans ton raisonnement initial tu utilises à la fois une notation additive et une notation multiplicative, donc tu sors du cadre des groupes. Dans tous les cas, si tu te places dans un groupe abélien, tout élément de ce groupe est dans son centre !
  • Siméon
    Siméon
    Cher feru, je te propose l'exercice suivant pour te faire réfléchir un peu plus à ces histoires de lois.

    Soient $(G,+)$ et $(G,\cdot)$ deux groupes tels que : $\forall (x,y,z) \in G^3,\ x(y+z) = xy + xz$.
    Montrer que $G$ ne contient qu'un élément.
  • gerard0
    gerard0
    Heu ... groupe additif ou groupe multiplicatif, ça ne veut rien dire, ce n'est qu'un choix de la façon de noter par un symbole habituel la loi de groupe. De plus, si le groupe n'est pas commutatif, c'est dangereux, il vaut mieux utiliser une autre notation, moins chargée d'habitudes.

    Cordialement.
  • feru
    feru
    Merci Simeon pour cet exercice.
    Soit $x \in G$. Alors $x* (e_+ + e_{*})=x* e_+ + x*e_{*}$.
    Le premier membre vaut $x*e_{*}$ et le second $x*e_+ + x$, d’où:
    $x= x * e_{*} + x$ ou encore $e_+ = x* e_+ + e_+$. Ainsi, pour tout $x \in G$, $e_+ =x * e_+$.
    Cette dernière égalité donne $e_+ = e_{*}$, mais alors $e_{*}= x*e_{*}=x$.
    Conclusion : $G=\{e_+\}$.
  • Siméon
    Siméon
    Faute de frappe à la 4e ligne : tu as écrit $e_*$ au lieu de $e_+$. Ce serait plus pratique en notant $0 = e_+$ et $1 = e_*$ (conseil).
    Pourrais-tu préciser comment tu arrives à $e_+ = e_*$ ?
  • feru
    feru
    Simeon, par unicité de l’élément neutre de $(G,*)$. C’est pour ça que j’ai écrit « pour tout $x$... ».
  • feru
    feru
    Je réécris tout en rentrant tout à l’heure Simeon, car c’est vrai que c’est illisible.
  • Siméon
    Siméon
    feru a écrit:
    par unicité de l’élément neutre de $(G,*)$.

    Ok ça marche !

    Pour en revenir à ton problème initial, cette situation se produit en théorie des représentations. Considérons pour simplifier $G$ un sous-groupe fini de $GL_n(K)$. Alors ton calcul montre effectivement que la matrice $s = \sum_{g\in G} g \in \mathscr M_n(K)$ commute à tout élément de $G$. De plus $s^2 = |G|\,s$, ce qui montre que $s$ n'est pas un élément de $G$ (sauf si $G$ ne contient qu'un élément).

    Tu peux travailler plus généralement dans l'anneau $\Z[G]$.
  • i.zitoussi
    i.zitoussi
    Pour $G$ fini, $\sum_{g\in G} g$ est bien défini et est central dans $\mathbb{Z}[G]$. Par contre, $\prod_{g\in G} g$ n'est pas défini a priori pour $G$ non abélien. On peut cependant considérer d'autres fonctions complètement symétriques dans les éléments de $G$, par exemple pour $k\geq 0$, $p_k := \sum_{g\in G} g^k$ (somme des puissances $k$-ièmes), qui sont aussi des éléments centraux de $\mathbb{Z}[G]$.

    Exemple: $G=\mathfrak{S}_3$, avec générateurs $s_1, s_2$ et relations $s_1^2=s_2^2=1$, $s_1s_2s_1=s_2s_1s_2$.
    Les éléments de $G$ sont $1$; puis $s_1$, $s_2$, $s_1s_2s_1$ (qui sont respectivement les transpositions $(12)$, $(23)$ et $(13)$); puis $s_1s_2$ et $s_2s_1$ (qui sont les deux cycles d'ordre 3, inverses l'un de l'autre). On trouve:
    \begin{eqnarray*}
    p_0 &=& 6\\
    p_1 &=& 1+ (s_1+s_2+s_1s_2s_1) + (s_1s_2+s_2s_1)\\
    p_2 &=& 4 + (s_1s_2+s_2s_1)\\
    p_3 &=& 3 + (s_1+s_2+s_1s_2s_1)\\
    \end{eqnarray*}
    qui sont tous centraux dans $\mathbb{Z}[G]$ (mais ne sont pas des éléments de $G$).
    (Pour $k\geq 3$, les $p_k$ peuvent s'exprimer en fonction de $p_0, p_1,p_2$. Par exemple, $3p_3 = -p_0+3p_1+3p_2$. C'est dû au fait que tout élément de $G$ est d'ordre $1$, $2$ ou $3$).
    Après je bloque.
  • feru
    feru
    Merci à tous les deux pour cette référence aux anneaux de groupe.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Français