localisation

Malheureusement, j'étais justement en train de le chercher pour le poster, mais je ne l'ai pas trouvé, mais bon je l'ai chez moi et donc je le posterai plus tard, effectivement c'est très bien écrit.

On trouve d'autres applications de la localisation ailleurs qu'en algèbre commutative. En particulier, en théorie des nombres, on a par exemple :

1. Le principe de Hasse (on en a déjà parlé sur le forum).

2. Des démonstrations de théorèmes lourds sont parfois moins contraignantes lorsque l'on localise (Th. de Kronecker-Weber, Th. d'Ore pour la décomposition d'idéaux premiers dans des cas difficiles,...).

3. Voir aussi la théorie locale du corps de classes.

4. Voir également les extensions de $\Q_p$ et, plus généralement les corps locaux, et les complétions de corps de nombres.

Borde.

Un mot sur l'interprétation géométrique de la localisation (qui justifie le terme).

Soit $A$ un anneau. Par exemple, $A = C(X)$, fonctions continues $f:X\to \C$ sur un compact.

On considère $f\in A$. Il définit un ouvert $D(f) = \{x\in X ~|~ f(x) \neq 0\}$ et l'anneau $A_f = A[1/f]$ s'identifie à $C(D(f))$ l'anneau des fonctions continues sur l'ouvert $D(f)$.

De même, tout point (fermé) $x \in X$ définit un idéal maximal $\mathfrak{m}_x = \{f \in A ~|~ f(x) = 0\}$. On a le localisé $A_{\mathfrak{m}_x} = (A-\mathfrak{m}_x)^{-1}A$. Il s'identifie à la limite inductive des $A_f$ pou $f\notin \mathfrak{m}_x$. Ainsi, $A_{\mathfrak{m}_x}$ est l'anneau des germes de fonctions en $x$ (fonctions définies sur un voisinage arbitrairement petit de $x$).

Cette correspondance est à la base de la géométrie algébrique: anneaux = fonctions et la localisation des anneaux correspond à la localisation sur l'espace.