Suite récurrente

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Réponses

  • @ totem
    Regarde la définition du reste $\displaystyle R_{n}=\overset{+\infty }{\underset{k=n+1}{\sum }}w_{k}$ et tu verras que $R_{n-1}=w_n+R_n$. Il n'est pas difficile d'en déduire $w_n$ connaissant $R_n$.
    J'ai bien dit ça dans mon message. Toute suite de limite nulle $R_n$ est la suite des restes d'une série convergente.
    Si de plus la série de terme général $R_n$ est absolument convergente, alors la série de terme général $w_n$ le sera aussi.
    Bonne journée et bon courage.
    Fr. Ch.
  • Je suis surpris que la convergence de $\sum nu_n$ implique celle de $\sum u_n$. Des fois il se passe des choses étranges chez les suites convergentes, par exemple des suites $(a_n)$ telles que $\sum a_n$ converge mais $\sum a_n^p$ ne converge pour aucun entier $p>1$. Mais bon, ici c'est Abel qui gagne.
  • @Chaurien : OK alors $w_n= \frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}=\frac{1}{n(n-1)}$ ...par contre ton indication que $n$ est un carré parfait, je ne sais qu'en faire...:-S
  • Chaurien a écrit:
    Par exemple le classique $R_n= \frac1n$ si $n$ est un carré $>0$, et $R_n=0$ sinon. Il est facile d'en déduire $w_n$, qui est une série absolument convergente. Et la série de terme général $nw_n$ diverge grossièrement.

    Bien vu ! Je ne sais pas pourquoi je pensais que ce serait plus compliqué.

    Cher Calli, le miracle vient de la suite $n \mapsto n$ mais ne lui est pas vraiment spécifique puisque qu'on dispose plus généralement du critère d'Abel que tu connais certainement.
  • @ totem
    Si tu as une question, pose-la clairement, là je ne vois pas ce que tu demandes.
  • @Chaurien ; oui ce n'est pas clair.

    Pourquoi construis-tu ton reste $R_n$ en imposant $n$ carré parfait ? Ou alors je n'ai rien compris ... :-S
  • Mais non. La valeur de $R_n$ est différente suivant que $n$ est un carré ou non, c'est tout.
  • @ totem
    Je cherche une série absolument convergente de terme général $w_n$, telle que la série de terme général $ \displaystyle R_{n}=\overset{+\infty }{\underset{k=n+1}{\sum }}w_{k}$ soit absolument convergente, mais que la série de terme général $ nw_n$ soit divergente.

    Je rappelle que si l'on a une série convergente de terme général $w_n$, si $ \displaystyle R_{n}=\overset{+\infty }{\underset{k=n+1}{\sum }}w_{k}$, alors : $\displaystyle \overset{n-1}{\underset{k=0}{\sum }}R_{k}=(\overset{n}{\underset{k=0}{\sum }}kw_{k})+nR_{n}$. C'est pour moi l'identité fondamentale pour aborder ces questions de sommes de restes.
    Ce qui ferait marcher la propriété $\displaystyle \overset{+ \infty}{\underset{k=0}{\sum }}R_{k}=\overset{+ \infty}{\underset{k=0}{\sum }}kw_{k}$, c'est que $nR_n \rightarrow 0$. Pour que cette propriété n'ait pas lieu, je cherche donc une suite $R_n$ telle que $nR_n$ ne tende pas vers $0$.
    C'est un mini-exo connu : donner une suite réelle positive $R_n$ telle que la série de terme général $R_n$ soit convergente, mais que $nR_n$ ne tende pas vers $0$. Déjà il ne faut pas que $R_n$ soit décroissante, si tu as bien lu mes messages. Une réponse simple et bien connue, c'est ce que j'ai dit : $R_n=\frac 1n$ si $n$ est un carré $>0$ et $R_n=0$ sinon. Par exemple : $R_0=0$, $R_1=1$, $R_2=0$, $R_3=0$, $R_4= \frac 14$, $R_5=0$, $R_6=0$, $R_7=0$, $R_8=0$, $R_9=\frac 19$, $R_{10}=0$, etc.
    Comme je t'ai dit, tu peux en déduire $w_n=R_{n-1}-R_n$ et tu peux voir que la série de terme général $w_n$ converge absolument, mais que la série de terme général $nw_n$ diverge grossièrement.
    D'accord ?
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • Ah d'accord...c'est $\zeta(2)$ qui est camouflée en fait...:-)
  • Chaurien écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2080854,2082310#msg-2082310
    > Moi je pensais à la propriété qui dit que si $x_n$ est une suite réelle décroissante et si la
    > série de terme général $x_n$ est convergente, alors $nx_n \rightarrow 0$.

    Cela ne s’appellerait pas le théorème de Pringsheim cela ?
  • @ totem
    Je ne connaissais pas Pringsheim, et une recherche rapide sur Internet donne plusieurs résultats à ce nom. Le mini-théorème en question ne me semble pas assez profond pour mériter une appellation labellisée, mais chacun peut en décider autrement.
  • Et pourtant...:-)
  • Il y a bien une relation de Chasles, alors...
  • Siméon : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2080854,2086226#msg-2086226
    Je n'avais pas vu que c'est un cas particulier du critère d'Abel. Merci de le remarquer.
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