Suite récurrente

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Réponses

  • @Chaurien : ta première formule serait-elle un genre de transformation d'Abel généralisée ? En considérant $R_n=S-S_n$...

    Edit: ah oui je suis frappé d'amnésie :-D
  • Chaurien, la question de l'existence est certainement évidente. Il s'agit quand même de répondre à la question "montrer l'existence d'une variable aléatoire $X$ telle que ...". Pour cela, à moins d'avoir un théorème permettant de s'en affranchir, il faut bien expliciter l'univers sur lequel est définie $X$ puis définir $X(\omega)$ pour chaque $\omega\in\Omega$. Il s'avère qu'effectivement au programme des classes de prépa il y a un théorème ad-hoc pour botter en touche.
  • @Chaurien
    Je n'arrive pas à montrer vos 2 résultats.

    @Alexique
    Je ne suis pas sûr d'avoir compris la transformée d'Abel.

    $\displaystyle\sum_{n=1}^{N} n P(X=n) = \displaystyle\sum_{n=1}^{N} \left( \displaystyle\sum_{k=0}^{n} P(X=k) - \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} P(X=k) \right)$

    Après je ne vois pas comment continuer.
  • La transformation d'Abel est quelque chose de très simple, mais je ne l'utilise pas dans cette question.
    J'utilise seulement le lemme suivant, qui se démontre de façon très simple.
    $\bullet $ Soit une série convergente de terme général $w_{n}\in \mathbf{C}$, pour $n\in \mathbf{N}$, et pour tout $n\in \mathbf{N}$, soit : $\displaystyle R_{n}=\overset{+\infty }{\underset{k=n+1}{\sum }}w_{k}$.
    Pour $n\in \mathbf{N}^{\ast }$, démontrer : $\displaystyle \overset{n-1}{\underset{k=0}{\sum }}R_{k}=(\overset{n}{\underset{k=0}{\sum }}kw_{k})+nR_{n}$.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • @OS : c'est déjà faux, tu as zappé le $n$... Bon, ben laisse tomber alors. Après tout l'exo est fait... Des fois, je me dis qu'on un peu maso à essayer de prolonger tes exos, puisqu'on sait que ça va engendrer 3 pages d'échanges supplémentaires creux... Mais ça en dit long sur ce que tu as compris de l'exo alors que tu l'as terminé. Ca donne le sentiment que si dans une semaine, on te donne le même en changeant un truc (typiquement si on te donnait dans 1 semaine l'exo de Bisam), ben tu devrais le plier en deux secondes et clairement, c'est pas le cas. Du coup, c'est comme si on faisait rien. Donc si chaque exo que tu fais n'engendre pas dans un tête un automatisme, un réflexe, un "déja-vu" qui te rend plus fort, plus alerte, je pense que c'est encore beaucoup de temps perdu pour rien.
  • Ok merci. J'ai réussi à démontrer le lemme.

    Au rang $n=1$, on a $R_0 = \displaystyle\sum_{k=1}^{+ \infty} w_k$
    $\displaystyle\sum_{k=0}^{1} kw_k+R_1 = w_1+R_1 =R_0$

    Supposons que le résultat soit vrai au rang $n$.

    Remarquons que $R_{n+1}= R_n -w_{n+1}$

    $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} R_k = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} R_k +R_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} kw_k +n R_n + R_n
    = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} kw_k + n +(n+1) (R_{n+1}+w_{n+1} ) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} kw_k + (n+1) w_{n+1} +(n+1) R_{n+1} \\
    =\boxed{\displaystyle\sum_{k=0}^{n+1} kw_k +(n+1) R_{n+1} }$

    On a $ \boxed{ \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} R_k = \displaystyle\sum_{k=0}^n k w_k + n R_n}$

    Le $n R_n$ me gêne pour démontrer que la série $\sum R_n$ converge si et seulement si $\sum n w_n$ converge.
  • Alexique rien à voir avec l'exercice, je ne sais pas de quoi vous parlez sur la partie probabiliste.

    L'exercice ne comportait pas de probabilité. C'est quand vous avez commencé à parler de proba que vous m'avez perdu, avec des théorèmes que je n'ai jamais étudiés.
  • @Chaurien : moi aussi j'ai le même problème qu'O Shine.

    Comment passes-tu de : $\displaystyle \overset{n-1}{\underset{k=0}{\sum }}R_{k}=(\overset{n}{\underset{k=0}{\sum }}kw_{k})+nR_{n}$ à $\displaystyle \overset{+\infty }{\underset{n=0}{\sum }}R_{n}=\overset{+\infty }{\underset{n=0}{\sum }}nw_{n}$ ?
    $R_n$ tend vers $0$ bien sûr puisque la série des $w_n$ converge , mais comment montrer que si la série des restes converge, $nR_n$ tend vers $0$ aussi ?

    Merci.
  • @ totem
    On a une série convergente de terme général réel $w_n \ge 0$, et $ \displaystyle R_{n}=\overset{+\infty }{\underset{k=n+1}{\sum }}w_{k}$.
    On a établi le lemme : $ \displaystyle \overset{n-1}{\underset{k=0}{\sum }}R_{k}=(\overset{n}{\underset{k=0}{\sum }}kw_{k})+nR_{n}$.
    On veut démontrer que la série de terme général $R_n$ converge si et seulement si la série de terme général $nw_n$ converge.
    Il faut démontrer une implication, puis l'autre. Chemin faisant il faut démontrer que $nR_n \rightarrow 0$.
    1) On suppose que la série de terme général $nw_n$ converge. Remarquer que : $\displaystyle \overset{+\infty }{\underset{k=n+1}{\sum }}nw_{k} \le \overset{+\infty }{\underset{k=n+1}{\sum }}kw_{k}$. Etc.
    2) On suppose que la série de terme général $R_n$ converge. Remarquer que la suite $R_n$ est décroissante. Etc.
    Bonne journée, et bon courage.
    Fr. Ch.
  • totem : Même technique que pour l'exo d'Oshine.
    La série de terme général $kw_k$ est à termes positifs et la suite de ses sommes partielles est majorée par la somme des restes donc elle converge. Par différence, la suite $(nR_n)$ converge également et si sa limite n'est pas nulle, on obtient un équivalent de $R_n$ qui ferait diverger la série de terme général $R_n$. C'est absurde et la conclusion s'ensuit.

    [Edit] : Devancé de 2 minutes par Chaurien...
  • Bisam donne une autre démonstration pour ce que j'ai appelé l'implication 2). Comme $\displaystyle \overset{n}{\underset{k=0}{\sum }}kw_{k} \le \overset{n-1}{\underset{k=0}{\sum }}R_{k} \le \overset{+ \infty }{\underset{k=0}{\sum }}R_{k}$ , la série de terme général $nw_n$ converge, et le lemme implique que $nR_n$ a une limite finie, etc.
    Moi je pensais à la propriété qui dit que si $x_n$ est une suite réelle décroissante et si la série de terme général $x_n$ est convergente, alors $nx_n \rightarrow 0$. Encore un exercice « classique », n'en déplaise à certains, et qu'il est bon de traiter, même si c'est depuis cent ans.
    Bonne journée grise. L'automne viendrait-il déjà ?
    Fr. Ch.
  • Je me suis intéressé à cette question depuis des années, et j'ai posé plusieurs exercices à ce sujet dans diverses classes prépas. Par exemple, trouver les sommes de restes pour les séries habituelles, même à termes complexes. J'avais fabriqué notamment cet exo où le reste se déguise en somme : somme de la série de terme général $\displaystyle z_{n}=\overset{n}{\underset{k=0}{\sum }}\frac{(-1)^{k}\pi ^{2k+1}}{(2k+1)!}$.

    J'ai exploité aussi l'application probabiliste de cette formule, qui permet de calculer l'espérance de certaines variables aléatoires discrètes plus facilement qu'avec la définition parce que souvent l'expression de l'antirépartition $P(X>n)$ n'est pas plus compliquée que l'expression de la distribution $P(X=n)$, et la disparition du facteur $n$ de $ \displaystyle \overset{+\infty }{\underset{n=0}{\sum }} nP(X=n)$ simplifie les choses. J'ai établi une formule analogue pour le moment d'ordre 2 et pour la covariance, avec toujours des applications à des variables aléatoires particulières.

    Et il m'est venu une question, comme toujours en mathématiques, la question de la généralisation : l'assertion suivante est-elle vraie ?$\bullet $ Soit une série absolument convergente de terme général $w_{n}\in \mathbb C$ et soit pour $n \in \mathbb N$ : $ \displaystyle R_{n}=\overset{+\infty }{\underset{k=n+1}{\sum }}w_{k}$. Alors la série de terme général $R_n$ converge si et seulement si la série de terme général $nw_n$ converge et dans ce cas : $ \displaystyle \overset{+\infty }{\underset{n=0}{\sum }}R_{n}=\overset{+\infty }{\underset{n=0}{\sum }}nw_{n}$.J'ai trouvé que c'est vrai dans un sens et faux dans l'autre. Je vous laisse le plaisir de chercher.

    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • @Chaurien : grand merci.
    J'avais trouvé l'implication $1$ mais je bloquais sur la $2$...pourtant elles sont assez proches !8-)

    J'avais essayé de travailler autour de la décroissance de $(R_n)$ comme tu l'avais suggéré...mais je tombais sur $w_n > 0$ce qui ne faisait guère avancer le Schmilblick !
  • totem a écrit:
    @Poirot:

    Si $u_n \underset{n \to +\infty}{\sim} \frac{L}{n}$ alors $\sum_n u_n \sim L H_n \sim L \ln(n) $ par le théorème de sommation des relations de comparaison ?

    C'est correct, mais je ne suis pas sûr de pourquoi tu poses la question ici.
  • @Poirot : oh non pour rien...pour m'assurer que j'ai compris déjà :-D

    @Chaurien : en parlant de sommation des relations de comparaison je suppose qu'a fortioti on a :


    $\displaystyle \overset{+\infty }{\underset{k=n+1}{\sum }}R_{k}\sim \overset{+\infty }{\underset{k=n+1}{\sum }}kw_{k}$?

    Mais a-t-on $R_n \sim nw_n$ ? la réciproque est fausse ? je ne sais plus :-S
  • Je ne connaissais pas la propriété :

    Si $x_n$ est une suite réelle décroissante et si la série de terme général $x_n$ est convergente, alors $n x_n \longrightarrow 0$.

    Et sinon je n'ai pas trouvé le lien entre cette propriété sur les séries et la partie probabilité avec le $P(X>n)$ et l'espérance.
  • @totem
    Comme dit Poirot, ces équivalents n'ont rien à voir avec la question.
  • Comment démontre-t-on cette propriété ?
    Chaurien a écrit:
    Si $x_n$ est une suite réelle décroissante et si la série de terme général $x_n$ est convergente, alors $n x_n \longrightarrow 0$.

    Edit : la réciproque est fausse par exemple, $\frac{1}{n\ln(n)}$.
  • @totem la suite des sommes partielles $\sum\limits_{k=0}^n x_k$ est de Cauchy. Donc je te laisse finir...
  • Soit une suite réelle décroissante $x_n$ telle que la série de terme général $x_n$ soit convergente.
    Alors : $ x_n \rightarrow 0$, d'où $x_n \ge 0$.
    Soit $\displaystyle R_n=\overset{+\infty }{\underset{k=n+1}{\sum }}x_{k}$, d'où $ R_n \rightarrow 0$.
    Alors : $0 \le n x_{2n} \le x_{n+1}+...+x_{2n} \le R_{n}$, d'où $2n \cdot x_{2n} \rightarrow 0$.
    Il n'est pas difficile de prouver ensuite que $(2n+1)x_{2n+1} \rightarrow 0$.
    Terminé.
    C'est mieux d'avoir vu ça au moins une fois. C'est comme qui dirait classique.
    Il y a une propriété analogue pour les intégrales, plus facile à prouver..
    Bonne nuit.
    Fr. Ch.
    27/08/2020
  • @Chaurien : ok merci. C'est drôle cela me rappelle étrangement la méthode pour montrer la divergence de la série harmonique avec le critère de Cauchy...

    $0 \le n x_{2n+1} \le x_{n+2}+...+x_{2n+1} \le R_{n}$

    donc $2n \cdot x_{2n+1} \rightarrow 0$ donc $2n \cdot x_{2n+1}+x_{2n+1} \rightarrow 0$ ??
  • Ben oui, par exemple $0 \le (2n+1)x_{2n+1} \le 2nx_{2n}+x_{2n+1}$.
    Essayez d'énoncer et de démontrer la même propriété pour les intégrales. C'est plus facile parce qu'un réel se laisse toujours diviser par $2$, c'est toujours un réel, alors pas besoin de deux cas.
  • "Si $f(x)$ est une fonction réelle décroissante sur $[0;+ \infty[$ et intégrable sur $[0;+ \infty[$ , alors $xf(x)\rightarrow_{+\infty} 0$" ?
  • Même raisonnement ($x \mapsto \int_0^x f(t) \,\mathrm{d}t$ est de Cauchy en l'infini).
  • On peut se demander aussi pour quel réel $\alpha$ on a la propriété.

    Si $x_n$ est une suite réelle décroissante et si la série de terme général $x_n$ est convergente alors $n^{\alpha}x_n \rightarrow0$

    Conjecture non démontrée : $\alpha>1$.
  • totem:

    la question est-elle de déterminer l'ensemble des $\alpha$ pour lesquels pour toute suite $x$, décroissante, dont la série converge, on a $n^\alpha x_n\to 0$ ?

    Dans ce cas la réponse ne serait pas plutôt tous les $\alpha\leqslant 1$ ?
  • @troisquart: je n'ai aucune idée de la réponse ,ma conjecture est vraisemblablement fausse :-)
  • En prenant $x_n = \frac1{n^{\alpha}}$, on voit bien qu'il n'existe aucun $\alpha > 1$ qui convienne dans tous les cas.

    Considérons une autre généralisation : soient $x$ une suite décroissante telle que $\sum x$ converge et $\alpha$ un réel positif tel que $\sum_{k = n}^{\infty} x_k = o(\frac 1{n^\alpha})$ lorsque $n \to \infty$. Que peut-on dire de $\lim_{n\to\infty} n^{\alpha+1} \,x_n$ ?
  • Je dirais :
    « Si $f$ est une fonction réelle décroissante sur $[0, +\infty[ $ telle que $ \int_0^{+ \infty} f(t) \,\mathrm{d}t $ converge, alors $xf(x) \rightarrow 0$ quand $x \rightarrow + \infty $ ».
    À quoi il faut ajouter une condition sur $f$, comme « continue par morceaux » si l'on ne dispose pas d"une théorie de l'intégrale qui intègre les fonctions monotones sur un segment.
    Quoique j'aime bien Cauchy (pour son génie mathématique et pour ses convictions), je tiens à faire le plus de choses possible sans Cauchy, pour rester dans le programme Maths-Spé d'aujourd'hui.
    La démonstration que j'ai rappelée pour les séries s'applique ici.
    La fonction décroissante $f$ a une limite en $+\infty$, qui est forcément nulle, d'où $f(x) \ge 0$.
    On écrit alors : $0\leq \frac{1}{2}xf(x)=\int_{\frac{x}{2}}^{x}f(x)dt\leq \int_{\frac{x}{2}}^{x}f(t)dt\leq \int_{\frac{x}{2}}^{+\infty }f(t)dt$.
    Terminé. Comme j'ai dit plus haut, pas besoin de deux cas, parce que $ \frac x2$ existe toujours.
    Il n'y a plus au programme d'intégrale de Riemann, ni de critère de Cauchy, ni tant d'autres choses.
    On a peine à comprendre pourquoi, quand le temps passe et que la science progresse, les programmes d'enseignement doivent régresser.
    Bonne journée quand même.
    Fr. Ch.
  • Je rappelle la question que j'ai posée plus haut : l'assertion suivante est-elle vraie ?$\bullet $ Soit une série absolument convergente de terme général $w_{n}\in \mathbb C$ et soit pour $n \in \mathbb N$ : $ \displaystyle R_{n}=\overset{+\infty }{\underset{k=n+1}{\sum }}w_{k}$. Alors la série de terme général $R_n$ converge si et seulement si la série de terme général $nw_n$ converge et dans ce cas : $ \displaystyle \overset{+\infty }{\underset{n=0}{\sum }}R_{n}=\overset{+\infty }{\underset{n=0}{\sum }}nw_{n}$.J'ai trouvé que c'est vrai dans un sens et faux dans l'autre.
    Personne ne dit rien à ce sujet :-( : c'est trop difficile ou bien c'est sans intérêt ?
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • C'est la flemme de réfléchir un samedi, je regarde un ancien film le docteur Jivago.
    Chaurien avec w_n=1/n(n+1) ca donne quoi?
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • @Chaurien : " Personne ne dit rien à ce sujet : c'est trop difficile ou bien c'est sans intérêt ?" à ton avis ? :-D
  • @ totem
    À mon avis c'est trop difficile pour toi :-D
  • @Chaurien : quelle déduction (tu) :-D mais qui te dit que ça m'intéresse ? :-D
  • Je viens pour la troisième fois de cacher, avec justification par MP, un même message hors sujet.
    Cela vaut un bannissement de 24h !
    AD
  • Chaurien a écrit:
    c'est trop difficile ou bien c'est sans intérêt ?

    Ce n'est pas inintéressant du tout. On peut commencer par remarquer qu'il suffit d'étudier la convergence de $n R_n$ lorsque $n \to +\infty$ puisque :
    $$
    \forall n\in\mathbb N,\quad \sum_{k=0}^n R_k = \sum_{k=1}^n k w_k + (n+1)R_n.
    $$

    $(\Leftarrow)$ Si on suppose que $\sum_n w_n$ et $\sum_n nw_n$ sont convergentes, une transformation d'Abel associée au théorème de sommation des relations de comparaison montre que :
    $$
    R_n = \frac1n\sum_{k=n+1}^{+\infty} kw_k + o\left(\frac1n\right),
    $$
    d'où la convergence de $\sum_n R_n$ et l'égalité demandée d'après ce qui précède. [Je ne crois pas que la convergence absolue soit nécessaire à cette démonstration]

    $(\Rightarrow)$ Un contre-exemple est donné par $R_n = \dfrac{e^{i\sqrt n}}{n}$ puisque $\sum_n R_n$ converge et $|w_n| = |R_{n-1} - R_n| = O(\frac{1}{n^{3/2}})$, bien que $nR_n$ n'ait pas de limite lorsque $n \to +\infty$.
  • @Siméon: je crois que Chaurien parlait du cas "continu" des fonctions et non pas du cas "discret" des suites :-D

    Bien sûr que c'est intéressant...c'était du $ax^2+bx+c$ (i.e. du second degré :-P)
  • Chaurien : J'ai cherché ton exercice avec beaucoup d'intérêt. Voici ce que j'en ai tiré.
    • Si les deux séries $\sum_{n\geq 0}R_n$ et $\sum_{n\geq 0}nw_n$ convergent alors la suite $(nR_n)_n$ converge et sa limite ne peut être que nulle sinon cela contredit la convergence de la série $\sum_{n\geq 0}R_n$. Par conséquent, les sommes des deux séries sont égales.
    • Si la série $\sum_{n\geq 0}nw_n$ est absolument convergente alors en notant $R_n'=\sum_{k=n+1}^{+\infty}|w_k|$ pour tout $n\in\N$, on montre avec le cas déjà étudié des suites réelles positives que la série $\sum_{n\geq 0}R_n'$ converge. Par conséquent, puisque $\forall n\in\N, |R_n|\leq R_n'$, on en déduit que la série $\sum_{n \geq 0}R_n$ converge absolument également. Enfin, par le point précédent, les sommes sont égales.
    • Si $w_n=\frac{(-1)^{n+1}}{n+1}$ pour tout $n\in\N$ alors pour tout $n\in\N$ et $N\geq n$ : \[\begin{align}R_n-R_N&=\sum_{k=n+1}^{N}(-1)^{k+1}\int_0^1t^kdt \\
      &=\int_0^1\sum_{k=n+1}^N (-1)^{k+1}t^k dt\\
      &=\int_0^1 (-1)^n t^{n+1} \frac{1-(-t)^{N-n}}{1+t}dt\\
      &=(-1)^n\int_0^1 \frac{t^{n+1}dt}{1+t}+O\left(\frac{1}{N}\right)\end{align}\]

      Donc, par passage à la limite lorsque $N\rightarrow +\infty$, $R_n=(-1)^n\int_0^1 \frac{t^{n+1}dt}{1+t}$.
      On en déduit par un calcul similaire que pour tout $n\in\N$, \[\sum_{k=0}^nR_k=\int_0^1\frac{t(1-(-t)^{n+1})}{(1+t)^2}dt=\int_0^1\frac{t}{(1+t)^2}dt+O\left(\frac{1}{n}\right)=\ln(2)-\frac{1}{2}+O\left(\frac{1}{n}\right)\]
      En particulier, la série $\sum_{n\geq 0}R_n$ converge alors que la série $\sum_{n\geq 0}nw_n=\sum_{n\geq 0}(-1)^n$ diverge grossièrement.


    Siméon : Je ne vois pas comment tu conclus la convergence de la série $\sum_{n\geq 0}R_n$ avec ton développement, ni même comment tu obtiens ce développement.
  • Désolé, j'aurais dû détailler davantage. Voici !

    Rappel : on suppose que les séries $\sum_n w_n$ et $\sum_n nw_n$ sont convergentes. Alors $T_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} kw_k$ tend vers $0$ lorsque $n \to \infty$.

    De plus, pour tout entier $n \geqslant 1$, une transformation d'Abel donne :
    $$
    R_n
    = \sum_{k=n+1}^\infty w_k
    = \sum_{k=n+1}^\infty \frac{T_{k-1}-T_k}k
    = \frac{T_n}n - \sum_{k=n}^{\infty} \frac{T_k}{k(k+1)}.

    $$ Or $T_n \to 0$, donc par sommation des relations de comparaisons :
    $$
    \sum_{k=n}^\infty \frac{T_k}{k(k+1)} \ = \ o\left(\sum_{k=n}^\infty \frac1{k(k+1)}\right),

    $$ d'où $R_n = o(\frac1n)$. Ainsi $(n+1)R_n \to 0$ et donc :
    $$
    \sum_{k=0}^n R_k = \sum_{k=0}^n kw_k + (n+1)R_n
    \ \xrightarrow[n\to\infty]{} \ \sum_{k=0}^\infty kw_k.

    $$ Mais on peut certainement faire plus élégant.
  • Merci, et bien vu !
  • @Siméon : excuse-moi mais ta somme $$ \sum_{k=n}^\infty \frac{T_k}{k(k+1)} \ $$ ne serait-elle pas plutôt $$\sum_{k=n}^\infty \frac{T_{k+1}}{k(k+1)} \quad ? $$
  • Je te fais confiance si tu as repris le calcul. De toute façon cela ne change rien au raisonnement.

    Edit. Après vérification je crois néanmoins que tu te trompes :
    $$
    \sum_{k=n+1}^\infty \frac{T_{k-1}-T_k}k = \sum_{k=n+1}^\infty \left(\frac{T_{k-1}}{k-1} - \frac{T_k}k + \frac{T_{k-1}}{k}-\frac{T_{k-1}}{k-1}\right) = \frac{T_{n+1-1}}{n+1-1} - \sum_{k=n+1}^\infty \frac{T_{k-1}}{k(k-1)} = \ldots
    $$
    D'autres réarrangements sont bien sûr possibles :
    $$
    \sum_{k=n+1}^\infty \frac{T_{k-1}-T_k}k = \sum_{k=n+1}^\infty \left(\frac{T_{k-1}}{k} - \frac{T_k}{k+1} - \frac{T_{k}}{k}+\frac{T_{k}}{k+1}\right) = \frac{T_n}{n+1} - \sum_{k=n+1}^\infty \frac{T_k}{k(k+1)}.
    $$
  • Cher Chaurien, pas de retour sur ton problème ? Avais-tu une approche différente des nôtres (bisam et moi) ? Le fait qu'on puisse s'abstenir de la convergence absolue me semble intéressant.

    Il reste aussi cette question qui n'a pas trouvé son public : soient $x$ une suite décroissante telle que $\sum x$ converge et $\alpha$ un réel positif tel que $\sum_{k = n}^{\infty} x_k = o(\frac 1{n^\alpha})$ lorsque $n \to \infty$. Que peut-on dire de $\lim_{n\to\infty} n^{\alpha+1} \,x_n$ ?
  • Bonjour,
    Siméon a écrit:
    soient $x$ une suite décroissante telle que $\sum x$ converge et $\alpha$ un réel positif tel que $\sum_{k = n}^{\infty} x_k = o(\frac 1{n^\alpha})$ lorsque $n \to \infty$. Que peut-on dire de $\lim\limits_{n\to\infty} n^{\alpha+1} \,x_n$ ?

    On a $\lim\limits_{n\to\infty} n^{\alpha+1} \,x_n = 0$.
    Preuve : $x_n\to 0$ donc $\forall n, x_n\geqslant 0$. On suppose par l'absurde que $ n^{\alpha+1} \,x_n$ ne tend pas vers 0. Alors : $\exists \varepsilon >0, \forall n_0, \exists n>n_0, n^{\alpha+1} \,x_{n} >\varepsilon$. Donc $$\sum_{k=\lfloor n/2\rfloor}^\infty x_k\geqslant \sum_{k=\lfloor n/2\rfloor}^n x_k\geqslant \left( n- \left\lfloor \frac{n}2 \right\rfloor\right) x_{n} > \frac{n}2 \frac{\varepsilon}{n^{\alpha+1}} = \frac\varepsilon2 \frac1{n^\alpha}.$$ Ça contredit $\sum_{k = n}^{\infty} x_k = o(\frac 1{n^\alpha})$.
  • Voilà ! À mettre en lien avec ce théorème taubérien.
  • @ Siméon
    Merci pour ton appel, j'ai été distrait de cette question, mais je vais y revenir.
  • J'ai regardé les messages relatifs à la question que j'ai posée.
    La première implication était la suivante.$\bullet $ Soit une série absolument convergente de terme général $w_{n}\in \mathbb C$ et soit pour $n \in \mathbb N$ : $ \displaystyle R_{n}=\overset{+\infty }{\underset{k=n+1}{\sum }}w_{k}$. Si la série de terme général $nw_n$ converge, alors la série de terme général $R_n$ converge et $ \displaystyle \overset{+\infty }{\underset{n=0}{\sum }}R_{n}=\overset{+\infty }{\underset{n=0}{\sum }}nw_{n}$.Siméon a réussi à affaiblir l'hypothèse, et on peut la reformuler ainsi.$\bullet $ Soit une suite $w_{n}\in \mathbb C$, telle que la série de terme général $nw_n$ converge. Alors la série de terme général $w_n$ converge, et soit pour $n \in \mathbb N$ : $ \displaystyle R_{n}=\overset{+\infty }{\underset{k=n+1}{\sum }}w_{k}$. De plus, la série de terme général $R_n$ converge et $ \displaystyle \overset{+\infty }{\underset{n=0}{\sum }}R_{n}=\overset{+\infty }{\underset{n=0}{\sum }}nw_{n}$.Le bon outil est comme l'a dit Siméon la transformation d'Abel, mais je ne suis pas certain que la sommation des relations de comparaison soit nécessaire, ni l'usage d'intégrales.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • De plus, il fallait démontrer la fausseté de l'implication réciproque, et donc trouver une série absolument convergente de terme général $w_n$, telle que la série de terme général $ \displaystyle R_{n}=\overset{+\infty }{\underset{k=n+1}{\sum }}w_{k}$ soit absolument convergente, mais que la série de terme général $ nw_n$ soit divergente.

    Pour moi la clé des questions relatives aux sommes de restes, c'est l'identité que j'ai signalée plus haut : $\displaystyle \overset{n-1}{\underset{k=0}{\sum }}R_{k}=(\overset{n}{\underset{k=0}{\sum }}kw_{k})+nR_{n}$.

    J'ai eu la même idée que Siméon, partir de $R_n$, car la connaissance de $R_n$ détermine $w_n$. Toute suite de limite nulle est la suite des restes d'une série convergente. Je veux donc exhiber une suite $R_n$ telle que la série $\sum_n R_n$ soit convergente, mais que $nR_n$ ne tende pas vers $0$. On peut même s'arranger pour que la série $\sum_n R_n$ converge absolument. Par exemple le classique $R_n= \frac1n$ si $n$ est un carré $>0$, et $R_n=0$ sinon. Il est facile d'en déduire $w_n$, qui est une série absolument convergente. Et la série de terme général $nw_n$ diverge grossièrement.

    C'est la rentrée, les professeurs de Maths Spé commencent souvent leur cours par les séries numériques. Ce fil peut leur permettre de trouver des idées d'exercices.

    Bonne soirée
    Fr. Ch.
  • Chaurien a écrit:
    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2080854,2085826#msg-2085826
    Par exemple le classique $R_n= \frac{1}{n}$ si $n$ est un carré $>0$, et $R_n=0$ sinon. Il est facile d'en déduire $w_n$,

    Comment fais-tu pour déduire $w_n$ à partir de ce reste stp ?

    @Siméon Denis Brochet : il ne faut jamais me faire confiance !! :-D
  • Voici comment je rédigerais la question, en reprenant les idées et les notations de Siméon.$\bullet $ Soit une suite $u_{n}\in \mathbf{C}$, $n\in \mathbf{N}$, telle que la série $\displaystyle \overset{+\infty }{\underset{n=0}{\sum }}nu_{n}$ converge. Alors la série $\displaystyle \overset{+\infty }{\underset{n=0}{\sum }}u_{n}$ converge, et soit $\displaystyle R_{n}=\overset{+\infty }{\underset{k=n+1}{\sum }}u_{k}$.
    De plus, la série $ \displaystyle \overset{+\infty }{\underset{n=0}{\sum }}R_{n}$ converge, et : $\displaystyle \overset{+\infty }{\underset{n=0}{\sum }}R_{n}=\overset{%
    +\infty }{\underset{n=0}{\sum }}nu_{n}$.$\bullet $ Pour $ n\in \mathbf{N}$, soit $\displaystyle T_{n}=\overset{+\infty }{\underset{k=n+1}{\sum }}ku_{k}$, d'où : $\displaystyle \underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }T_{n}=0$, et : $T_{n-1}=nu_{n}+T_{n}$.
    $\bullet $ La suite $T_{n}$ est bornée, et alors la série $\displaystyle \displaystyle \overset{+\infty }{\underset{%
    k=1}{\sum }}\frac{T_{k}}{k(k+1)}$ est absolument convergente.
    $\bullet $ La transformation d'Abel donne, pour $N>n$ :
    $\displaystyle \overset{N}{%
    \underset{k=n+1}{\sum }}u_{k}=\overset{N}{\underset{k=n+1}{\sum }}\frac{%
    T_{k-1}-T_{k}}{k}=\overset{N}{\underset{k=n+1}{\sum }}\frac{T_{k-1}}{k}-%
    \overset{N}{\underset{k=n+1}{\sum }}\frac{T_{k}}{k}=...=\frac{T_{n}}{n+1}-(%
    \overset{N}{\underset{k=n+1}{\sum }}\frac{T_{k}}{k(k+1)})-\frac{T_{N}}{N+1}$.
    Ce qui prouve que la série $\displaystyle \overset{+\infty }{\underset{n=0}{\sum }}%
    u_{n}$ converge, et si l'on pose $\displaystyle R_{n}=\overset{+\infty }{\underset{k=n+1}{%
    \sum }}u_{k}$, il vient, en faisant $N \rightarrow +\infty$ :
    $\displaystyle ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~R_{n}=\frac{T_{n}}{n+1}-\overset{+\infty }{%
    \underset{k=n+1}{\sum }}\frac{T_{k}}{k(k+1)}$.
    $\bullet $ Comme $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }T_{n}=0$, pour tout $\varepsilon >0$, il existe $n_{0}\in \mathbf{N}$ tel que $n\geq n_{0}$ implique $\left\vert T_{n}\right\vert \leq \varepsilon $.
    Alors pour $n\geq n_{0}$ : $ \displaystyle \left\vert n\overset{+\infty }{\underset{k=n+1}{%
    \sum }}\frac{T_{k}}{k(k+1)}\right\vert \leq n\overset{+\infty }{\underset{%
    k=n+1}{\sum }}\frac{\left\vert T_{k}\right\vert }{k(k+1)}\leq n\overset{%
    +\infty }{\underset{k=n+1}{\sum }}\frac{\varepsilon }{k(k+1)}=n\frac{%
    \varepsilon }{n+1}\leq \varepsilon $.
    Il est ainsi établi que : $ \displaystyle \underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }n\overset{+\infty }{%
    \underset{k=n+1}{\sum }}\frac{T_{k}}{k(k+1)}=0$.
    Et comme $\displaystyle nR_{n}=\frac{n}{n+1}T_{n}-n\overset{+\infty }{\underset{k=n+1}{%
    \sum }}\frac{T_{k}}{k(k+1)}$, il s'ensuit : $\displaystyle \underset{n\rightarrow
    +\infty }{\lim }nR_{n}=0$.
    $\bullet $ On rappelle in fine le lemme suivant, pour toute série convergente de terme général $u_{n}$, avec $\displaystyle R_{n}=\overset{+\infty }{\underset{k=n+1}{\sum }}u_{k}$.
    Pour $n\in \mathbf{N}^{\ast }$, on a : $\displaystyle \overset{n-1}{%
    \underset{k=0}{\sum }}R_{k}=(\overset{n}{\underset{k=0}{\sum }}ku_{k})+nR_{n}
    $. Ce qui permet de conclure.

    Bonne journée.
    Fr. Ch.
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