Topologie :(

Soit $S\subset \R^{2n+1}$ une surface de dimension $n$.
Est ce qu'il existe toujours une application $f:\R^{2n+1}\rightarrow \R^{2n+1}$ qui enverrait $S$ vers $\{0\}$ et qui serait un homéomorphisme en dehors de $S$.

Ca doit pas trop marcher avec la sphère : 2 composantes connexes pour $\R^{2n+1} \backslash S^{2n} $ / 1 composante connexe pour $\R^{2n+1} \backslash \{0\}$

Un homéro de $\R^{2n+1}\setminus S$ sur quoi ?

Je reformule ce que j'ai compris:

On fixe une sous-variété $S \subset \R^{2n+1}$ de dimension $n$.

On cherche $f:\R^{2n+1} \to \R^{2n+1}$ tel que $f(S) = \{0\}$ et $f$ induise un homéomorphisme de $\R^{2n+1} - S$ sur $\R^{2n+1}-\{0\}$.

Cela équivaut à demander que $\R^{2n+1} - S$ sur $\R^{2n+1}-\{0\}$ soient isomorphes.

C'est faux pour $n=0$ si on suppose $S$ non connexe.

Pour $n>0$, je crois que c'est faux en général car $\R^{2n+1}-\{0\}$ a le type d'homotopie de la sphère $S^{2n}$ donc les groupes de cohomologie vérifient $H^i(\R^{2n+1}-\{0\}) = \Z$ pour $i=2n$ et $0$ sinon. Or $\R^{2n+1} - S$ peut avoir d'autres groupes d'homologie non nuls.