Question de Topo
Bonjour les mateux !!!
Voila, j'ai un pb pour un exo de topo :
Si on considère deux espace topologiques X et Y et une fonction f:X---->Y continue, comment montrer que l'image par f d'un compact de X est un compact de Y.
Merci d'avance
Voila, j'ai un pb pour un exo de topo :
Si on considère deux espace topologiques X et Y et une fonction f:X---->Y continue, comment montrer que l'image par f d'un compact de X est un compact de Y.
Merci d'avance
Réponses
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Par la caractérisation de Borel des compacts : de tout recouvrement ouvert, on peut extraire un sous-recouvrement fini.
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Oui j'y avais pensé, mais c'est un truc ou je n'ai pas compris grand chose.
j'avais une idée, dite moi si c'est bon : on prends K un compact de X, donc f(K) est son image dans Y. Ensuite, on prend une suite au pif dans f(K) et on montre qu'elle admet une sous suite Convergente dans f(K) -
soit $K$ un compact de $X$ soit $\cup_{i\in I}O_{i}$ un recouvrement d'ouvert de $f(K)$ or $K\subset \cup_{i\in I} f^{-1}(O_{i})$
or $K$ compact donc on peut extraire un sous recouvrement finis d'ouvert de la famille $f^{-1}(O_{i})$
et ensuite tu finis -
Merci, je ne l'avais pas vu comme cela, car je ne pensais pas qu'on avait en général l'égalité entre K et l'image réciproque de f(K). Mais je viens de vérifier que cette égalité est vrai.
Merci bcp !!! -
Dans le cadre des espaces topologiques généraux, il n'y a pas de lien entre la définition de la compacité par les recouvrements et le fait qu'on puisse extraire une sous-suite convergente.
Par contre dans les espaces métriques, c'est la même chose.
Tu es donc obligé d'utiliser la définition avec les recouvrements.
Au passage, il manque une hypothèse dans ton exercice, il faut supposer $Y$ séparé (sinon il n'y a aucune raison pour que $f(K)$ soit séparé, ce qui fait partie de la définition de la compacité, du moins en France !) -
Par contre une autre question : est-ce que le faire avec des suite serait juste, étant donné que l'hypothèse ne donne pas les espaces séparés ?
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Comment faire avec des suites alors que tu n'as que des espaces topologiques et pas des espaces métriques. comment vas-tu définir la convergence de la suite?
Je n'ai pas souvent travaillé avec des espaces topologiques donc je dit peut-être une bêtises.
Qu'en penses-tu? -
On peut def une convergence sur un espace non métrique en considérant les ouverts de la topo.
exemple : lim xn = x ssi pour tout ouvert contenant x il existe un certain rang a partir duquel tous les xn sont dans l'ouvert.... -
Mais seulement si l'espace n'est pas séparé alors la limite n'est pas forcément unique.
Si on considère X muni de la topo grossière alors pour toute suite de X, tout point de X est limite de la suite.
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Bonjour!
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