Question de Topo

Par la caractérisation de Borel des compacts : de tout recouvrement ouvert, on peut extraire un sous-recouvrement fini.

soit $K$ un compact de $X$ soit $\cup_{i\in I}O_{i}$ un recouvrement d'ouvert de $f(K)$ or $K\subset \cup_{i\in I} f^{-1}(O_{i})$

or $K$ compact donc on peut extraire un sous recouvrement finis d'ouvert de la famille $f^{-1}(O_{i})$

et ensuite tu finis

Dans le cadre des espaces topologiques généraux, il n'y a pas de lien entre la définition de la compacité par les recouvrements et le fait qu'on puisse extraire une sous-suite convergente.
Par contre dans les espaces métriques, c'est la même chose.

Tu es donc obligé d'utiliser la définition avec les recouvrements.

Au passage, il manque une hypothèse dans ton exercice, il faut supposer $Y$ séparé (sinon il n'y a aucune raison pour que $f(K)$ soit séparé, ce qui fait partie de la définition de la compacité, du moins en France !)

Comment faire avec des suites alors que tu n'as que des espaces topologiques et pas des espaces métriques. comment vas-tu définir la convergence de la suite?
Je n'ai pas souvent travaillé avec des espaces topologiques donc je dit peut-être une bêtises.

Qu'en penses-tu?