Un exercice sur les fonctions

Autre idée : dire que $f(uv) = uf(v) + vf(u)$, c'est "presque" comme si $f$ transformait les produits en sommes...

Moi il me semble que :
1) si $f$ est une solution, alors elle est dérivable sur $\R$ (intégrer la formule par rapport à $v$ entre $0$ et $1$ et voir ce qui se passe par rapport à $u$
2) en dérivant la relation par rapport à $u$, puis en posant $u=1$, on trouve une équation différentielle linéaire du premier ordre satisfaite par $f$, qui dépend d'une première constante $\alpha=f'(1)$
3) en résolvant cette équation on fait apparaître une deuxième constante d'intégration, sauf erreur dans la marge les solutions ont la tête suivante $f(v)=Ce^v-\alpha(v+1)$.
4) enfin en reportant $f(0)=f(1)=0$ on trouve les constantes et donc que $f=0$
5) pour terminer on vérifie bien entendu que la fonction nulle est bien solution

A vérifier.

Si $f$ est solution, on commence par voir que $f\left(-1\right)=0$ (en écrivant que $f\left(1\right)=f\big((-1)^{2}\big)$). On en déduit immédiatement que $f$ est impaire. Comme elle est définie en $0$, il suffit de connaître $f$ sur $\mathbb{R}^{+*}$. Posons $g\left(x\right)=f\left(e^{x}\right)e^{-x}$. Alors $g$ est continue sur $\mathbb{R}$ et vérifie $g\left(u+v\right)=g\left(u\right)+g\left(v\right)$ pour tous réels $u$ et $v$. Donc, il existe un réel $a$ tel que, pour tout réel $u$, $g\left(u\right)=au$ ce qui entraîne donc $f\left(e^{u}\right)=aue^{u}$ ou encore pour tout $x>0$, $f\left(x\right)=ax\ln x$. Donc si $f$ vérifie les hypothèses, $f\left(x\right)=ax\ln\left|x\right|$ pour $x\neq0$ (et évidemment $f\left(0\right)=0$). Réciproquement, une fonction de cette forme vérifie immédiatement l'équation fonctionnelle.

PS. L'ensemble des solutions mesurables reste identique.

A la relecture de vos messages, je me rends compte que j'aurais dû poser les calculs et non les faire de tête ...

Le premier point démontre que la fonction est $C^1$ au moins sur $\R^*$.
La dérivation par rapport à $u$, puis le fait de fixer $u=1$ nous donne la relation $vf'(v)=f(v)+Cv$, avec $C=f'(1)$.
L'intégration de cette équation différentielle donne $f(v)=Cv\ln(|v|)+Dv$, où $D$ est une constante.
Le fait que $f(1)=0$ donne $D=0$.
Il ne reste plus qu'à vérifier la réciproque


Le fait de transformer le problème en une équation différentielle est une technique assez standard à moins bien entendu d'intuiter les solutions.

Si l'on peut s'en passer, tant mieux, cela permet parfois aussi de trouver toutes les solutions (modulo éventuellement une base de Hamel) sans la moindre hypothèse de régularité. Lorsque j'étais en sup, je m'étais posé la question de résoudre sans équa diff le cas de $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$, ce qui permettrait éventuellement au final d'exhiber toutes les solutions même non régulières. Je n'ai pas réfléchi à nouveau à cette question, mais si certains ont des idées, ça m'amuserait !