Préparer sa première séquence

Je suis d’accord avec tout ça sauf sur la fin.
La seule phrase que je conteste est « 2,4 est une fraction ».
J’y vois une confusion « écriture en fraction/rationnel » avec mes définitions.
Ça m’évoque une discussion du printemps où la (plutôt une) définition proposée était celle d’un rationnel.

Cela dit : le terme « fraction » désigne de temps en temps un nombre et de temps en temps une écriture.
Je m’attache à la deuxième acception dans le discours mathématiques.

Dans cette démarche, dans la liste des quatre écritures de ton message, je vois :
quatre écritures fractionnaires
seulement deux écritures en fraction (certains disent « seulement deux fractions », parfois je le dis aussi)
seulement une écriture en fraction décimale (certains disent « seulement une fraction décimale », parfois je le dis aussi)

Remarque : je suis déçu de ne pas avoir la définition de fraction en 6e (ou autre niveau de collège) malgré ton introduction (sur le pinaillage).
Je ne critique pas cependant que l’on dise « je ne donne pas de définition de ce truc », si on le dit clairement.

Dom, le nombre 2,4 est une fraction, l’écriture 2,4 n’est pas une écriture fractionnaire.

$\mathbb{Z}$ est un anneau intègre, le corps des fractions de $\mathbb{Z}$ est défini à partir des axiomes classiques.
En fait, tous les nombres de collège sont des fractions.
Je pense qu’il est plus pertinent de parler d’écritures fractionnaires et quand on a besoin d’effectuer $1+\frac}{3}$, de rappeler que $1$ est aussi une fraction et qu’on peut l’écrire sous forme fractionnaire.
Je trouve non pertinente la distinction entre fraction et écriture fractionnaire de collège (et même fausse mathématiquement). Elle n’apporte rien, elle embrouille les élèves.

Comme tu veux (et c’est une espace en typographie).

Les profs des écoles d'une école que je connais bien introduisent les choses comme ceci:

Séquence 1 : partages de l'unité et définition de premiers nombres non entiers compris entre 0 et 1

1) on trace une droite sur laquelle on place une origine $O$ et un point $I$ de sorte que $OI=1$. On choisit un entier $n$ (non nul et petit, souvent on prend $n=2$ ou $n=4$ pour commencer) et on subdivise le segment $[OI]$ en quatre segments de même longueur. Par définition chacun de ces segments a pour longueur un nombre qu'on peut écrire sous une forme appelée fractionnaire $\frac{1}{n}$.

2) à ce stade certains enseignants introduisent souvent (sans le dire, sans formaliser) la notion d'abscisse (si je dis que $0$ est à l'origine et que $1$ est en $I$, où est $\frac{1}{2}$ ?)

Séquence 2 : Que désigne $\frac{m}{n}$? Premières propriétés des écritures fractionnaires

On partage en 2, on fait placer $\frac{1}{2}$. Puis (c'est extrêmement naturel), on demande "où est $3\times \frac{1}{2}$ sur la droite" ou, si on n'a pas introduit l'abscisse "trace moi un segment qui mesure $3\times \frac{1}{2}$"

On fait observer que $2\times \frac{1}{2}=1$, $4\times \frac{1}{2}=2$ etc.

On définit ainsi $\frac{m}{n}$ et on fait remarquer que c'est comme si on avait partagé $m$ en $n$ plutôt que $1$ en $n$ et de prendre $m$ parts.

Séquence 3 : On peut additionner des fractions de même dénominateur (on met bout à bout !) et voit géométriquement que si les dénominateurs sont différents ça n'a plus de sens.

Séquence 4: après avoir joué dans les 3 séquences précédentes avec $n\in\{2;4;5;10\}$, on a souvent déjà joué avec les dixièmes. Et pour les centièmes on partage simplement des dixièmes en 10 comme dans les séquences précédentes. On a donc les fractions décimales dont on dispose d'une écriture spécifique sur laquelle on pourra aisément revenir avec des bases construites.

Les avantages:

• un nombre est un nombre (en l'occurrence une distance) et une écriture fractionnaire (fraction) est une représentation (parfois non unique) d'un même nombre.
• il n'y a pas beaucoup "d'arnaque" dans cette présentation ou de concept flou (du genre "un décimal est composé de deux nombres séparés d'une virgule" qui est bien le pire du pire qu'on peut enseigner à mon sens).
• jamais on ne rencontre la barrière habituelle des fractions représentant un nombre supérieur à 1.
• on pourra réutiliser cette approche pour aller "à gauche de l'origine" sans aucun souci.
• la somme (dénominateurs égaux) et le produit par un entier sont totalement naturels
• la règle $\frac{n}{m}=\frac{kn}{km}$ se visualise dès la première séquence et peut donc être répétée (jusqu'à ce que mort s'en suive) pendant des heures.
• le décimal est visualisable (aisément au moins jusqu'au centième) et n'est pas une notion nouvelle, mais vu comme un exemple particulièrement courant d'écriture fractionnaire.

D'après les enseignants qui ont mis cette méthode en place (méthode issue de Marie-Lise Peltier), c'est la présentation la plus efficace en terme de compréhension qu'ils ont observée à partir du CM1 et celle qui donne les meilleures évaluations (observations faites sur une vingtaine d'années et sur la base d'une seule école constituée de 3 CM1 et 3 CM2 concernant 5 enseignants (il y a un double niveau).

Il faut dire aussi que l'équipe améliore chaque année ses présentations et se transmet le savoir entre collègues grâce à un ou deux enseignants particulièrement motivés. Ça aide beaucoup.

En espérant que ce témoignage puisse servir à quelqu'un.

Et oui. C’est mon approche (« chers gamins, allez, on dit qu’il existe des nombres entre les entiers, on partage etc. »).
J’appelle ça l’ensemble des rationnels et non l’ensemble des fractions.

Ne t’inquiète pas. Parfois je ne partage pas les miens (:P)

@nicolas : Dom n'a pas dit "un rationnel est un couple" mais "une fraction" est un couple. En gros, si j'ai bien compris Dom, sa définition, vu qu'il en faut bien une, c'est qu'une fraction désigne un couple qui représente (au sens représentant d'une classe d'équivalence) un nombre rationnel pour la relation d'équivalence de proportionnalité. Qu'il me corrige si je traduis mal sa pensée.

(Ma) Définition : Une fraction est une écriture fractionnaire (d’un nombre) dont les numérateur et dénominateur sont des entiers.
Remarque : il se trouve que ce nombre est nécessairement rationnel.

Exemple de consigne : « écrire 2,2 en fraction irréductible ».
Si une fraction désigne un nombre alors « fraction irréductible » ne veut rien dire.

Nicolas, tu ne verras aucune source qui dit que $\frac{1,1}{2,2}$ est une fraction.
Idem pour $\frac{\pi}{2}$, ce n’est pas une fraction pour personne sauf toi, certains diront même « encore moins pour $\frac{\pi}{2}$ ».

Enfin, j’en suis presque certain... là, personne va te suivre (ce qui ne prouve rien !).
D’ailleurs si tu la construis avec l’anneau intègre $\mathbb Z$, ça m’intrigue.

Enfin, tu parles de confusion rationnel vs fraction mais dans tes messages on dirait que tu confonds plutôt fraction et réel.

Encore une fois : donne donc ta définition du mot fraction au collège ou bien dit qu’il n’en existe pas (ce n’est pas une critique).
Le débat sera bien plus éclairant. Là on parle un peu dans le vide.

Remarque :
J’ose m’attribuer justement de la réflexion sur ce sujet.
Même si parler comme ça (« moi j’ai réfléchi ») c’est s’enliser dans un débat sous la ceinture (« j’ai la plus grosse ») qui ne m’intéresse pas. Il s’agit d’une rhétorique en guise d’argument d’autorité.
Tu n’es pas du tout coutumier du fait donc je ne pense pas que tu l’aies dit dans ce sens là.

C’est la dramaturgie perpétuelle depuis au moins trois décennies d’après ce que j’en ai compris.

Et oui, OShine :
Le premier « qui peut » est mathématique : il existe...
Le second « qui peut » est humain : « quelqu’un peut ».

Sauve qui peut, vite !


Ça m’évoque, à cette heure tardive :
« Sauve qui peut le vin, et le pastis d’abord ».
Dans « Supplique pour être enterré à la plage de Sète », de Brassens.

OShine, tant que l'expression "écriture décimale" n'est pas définie, la définition donnée ne peut pas être considérée fausse.

Le "ou" employé dans la définition du manuel semble devoir être compris comme "une écriture décimale ou [si vous préférez une autre façon de le dire,] une fraction décimale". En tout cas, je l'ai compris comme tel. Et j'imagine que le manuel définit bien ce qu'est une fraction décimale non ?

Je n'ai pas le courage de lire tous les messages de cette file alors excusez moi si je fais une redite.
Avant de s'intéresser à une séquence de cours il faut établir la progression du cours, c'est à dire l'ordre dans lequel seront traités les chapitres du programme.

Je pense que ce que veut dire Fin de partie est qu’il faut avoir une vision assez globale pour certaines séquences pour éviter de se rendre compte qu’une séquence a besoin absolument d’une notion prise dans une autre.

Là, c’est parti sur la première séquence de 6e, c’est assez peu ouvert.
Écritures des entiers ou Premiers éléments de géométrie.

Mais est-ce vraiment important ?

Bonjour,
il y a deux présentations possibles :
(1) écriture décimale des nombres décimaux > écritures fractionnaires des nombres décimaux> fractions générales> écriture décimale des rationnels généraux
(2) fractions générales> écriture fractionnaire des nombres décimaux> écriture décimales des nombres décimaux> écriture décimale des rationnels généraux.

La (1) correspond à l'enseignement traditionnel des écoles primaires et primaires supérieures.
C'est aussi celle préconisée par L Lafforgue (qui veut introduire les nombres décimaux dés le cycle 2:L Lafforgue : "Le système des pièces, avec lequel les enfants sont très tôt familiers, permet d'introduire dès le cours élémentaire le système décimal jusqu'à deux chiffres après la virgule.").
Elle se justifie par l'usage des nombres décimaux monétaires et dans le système métrique. Elle s'applique dans le calcul posé de la multiplication et de la division avec virgule. Elle permet l'introduction précoce des nombres décimaux.

La (2) correspond aux instructions officielles actuelles pour le cycle 3. On la retrouve dans le Lebossé Hémery de 5ème (qui s'adresse à des élèves ayant déjà eu un premier contact avec les nombres décimaux). Utilisée au cycle 3, elle repousse au delà de l'école primaire la pratique de la division par des nombres décimaux (par exemple).
Elle est justifiée par un texte de R Brissiaud (1998, Brissiaud):

R Brissiaud a écrit:

Toute progression pédagogique concernant les décimaux conduit d’abord à s’interroger sur le mode d’écriture qu’il convient d’enseigner en premier : faut-il commencer par les nombres à virgule ou les fractions décimales ?
Nous avons choisi d’enseigner d’abord les décimaux sous la forme de fractions décimales. Ce choix résulte en premier lieu d’analyses que G. Brousseau a été le premier à développer. Longtemps, les décimaux ont été enseignés comme un recodage de mesures entières. Dans une telle approche 3,25 mètres, c’est, par définition, 325 cm. Ou encore : 3,25 est défini comme l’écriture de 325 "en prenant la centaine comme unité". Du coup, l’idée de fractionnement disparaît. Ce système de notation fonctionne comme celui des heures et des minutes, à la différence près que le groupement se fait par 10. On parle souvent à propos d’un tel système de "nombres complexes". Il se différencie de celui des décimaux du fait qu’on y groupe des unités, sans jamais les fractionner.
Les nombres décimaux ont été inventés pour permettre d’approcher la mesure d’une grandeur continue d’aussi près que l’on veut, grâce à des fractionnements de plus en plus fins (dixièmes, centièmes, etc.). C’est leur raison d’être. Faire disparaître l’idée de fractionnement dans une progression didactique concernant les décimaux, c’est donc "passer à côté" de son objet d’étude, c’est quasiment décider de ne pas enseigner les décimaux, de laisser les élèves qui le peuvent, les inventer eux-mêmes.
Une autre progression pédagogique est évidemment souhaitable : celle où l’on commence par présenter aux élèves les fractions, dont les fractions décimales, en utilisant la barre de fraction comme système de notation ; puis, dans un deuxième temps, l’écriture à virgule de ces fractions décimales.

Dans la pratique actuelle, c'est la (2) qui est opérationnelle, les élèves de 6ème ont déjà vus les fractions décimales, mais n'ont qu'une pratique réduite du calcul sur l'écriture décimale des nombres décimaux.
La question que pose Oshine, c'est "Comment introduire au calcul sur l'écriture décimale des nombres décimaux, des élèves qui connaissent déjà la notion de fraction décimale?"

La difficulté c'est que les règles de calcul sur les fractions ne sont d'aucune utilité pour justifier le fait qu'on utilise les règles de calcul des entiers sur les écritures décimales de nombres décimaux.

Peut-être faut alors revenir au mode d'exposition classique des nombres décimaux, c'est à dire à partir du système métrique et sans supposer connues les règles du calcul fractionnaire ?

Cordialement

Ha la chance, t'as des 6èmes !

Il y a un truc utile que tu peux faire c'est rattraper ceux ont déjà commencé à décrocher des maths parce que les années suivantes ce sera un gros problème.

Et puis, je n'ai jamais eu de 6èmes, mais j'imagine en me remémorant la manière dont mes 5èmes étaient blasés et les étoiles dans les yeux des 6èmes qu'il doit se passer un truc vachement décevant avec les maths en 6ème. Peut-être le fait de ne voir que des notions basiques alors qu'ils espèrent des maths de grand ?

En tout cas, cette année, il faut rattraper les mois ratés par la fermeture des écoles, donc concentre-toi sur les bases, fais des heures de soutien, etc.

Ah, tiens donc, me voilà prisonnier !

Disons que j'ai vu différentes méthodes en action et que j'ai regardé les résultats aux évaluations suite à ces différents enseignements. J'ai aussi écouté les professeurs des écoles qui ont testé ces différentes méthodes. Il n'y a pas vraiment photo, au moins sur la population que j'ai eu à observer.

"On ne définit pas les nombres décimaux sans faire référence à une écriture particulière de ceux-ci, soit l'écriture décimale, soit l'écriture fractionnaire. C'est ensuite que l'autre écriture est introduite comme équivalente."

Ce n'est pas très clair. Peux-tu faire un effort ? Comment un enfant visualise-t-il un nombre décimal avec ton approche ? Comme un couple d'entiers ?

Enfin, pourquoi parler de détour par les "fractions" puisqu'un décimal est un rationnel ?

Bon, allez, je le dis clairement : En fait, savoir ce qui est un nombre décimal on n’en a rien à f***tre même pour toute la scolarité jusqu’en Terminale.
Et même, on peut être agrégé sans le savoir.

Ha si ! Ça peut permettre de grappiller un point sur cinquante dans un QCM.

Troisqua,
tu m'opposes des données expérimentales que je n'ai pas et que je veux bien accepter dans ce cas particulier.
Le problème est l'introduction en général des nombres décimaux et l'opportunité de celle-ci via les fractions pour initier au calcul sur l'écriture décimale de ceux-ci.
Au minimum tu devras concéder le retard notable pris pour ce dernier lorsqu'on conditionne l'introduction des nombres décimaux à celle préalable des fractions (retard en général préoccupant dans l'enseignement français).

Après tu sembles considérer que l'introduction des nombres décimaux par leur écriture décimale est par nature moins claire que celle par leur écriture fractionnaire. Cela n'a pas de sens.
Au plaisir de te lire.

Troisqua,
imagine ce que tu veux.
Il est vrai que les résultats actuels de l'enseignement français sont tellement brillants, qu'ils justifient pleinement ton mépris vis à vis des techniques antérieures, où comme chacun sait, l'enseignement marchait moins bien qu'aujourd'hui !
Sinon, j'apprécie ton argumentaire ("j'ai raison", "c'est nul") à sa juste valeur.

Je te laisse à tes certitudes d'autosatisfaction.
Cordialement.