Corps, groupe des unités et ordre

Bonjour,
Sais-tu construire un tel corps explicitement à partir de $\mathbb F_3 = \mathbb Z/3\mathbb Z$ ? Et sais-tu qu'un tel corps est unique à isomorphisme près ?

Ce n'est pas vraiment explicite comme construction. C'est l’œuf et la poule : comment définis-tu ta base ? Il y a une construction standard comme quotient de quelque chose défini sur $\mathbb F_3$.

Un corps de cardinal 9 est une extension de degré 2 du corps à 3 éléments $K$. On le construit à l'aide d'un polynôme de degré 2 irréductible, i.e. sans racine dans le corps à 3 éléments. On peut prendre par exemple $x^2+1$ et considérer $L=K[x]/(x^2+1)$.

Dans $L$, on a une base : $(1,i)$. Tu peux écrire la liste des éléments et voir l'ordre de certains rapidement. On vérifie facilement que $i$ est d'ordre 4, par exemple. Hardi !