Préparer sa première séquence

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Réponses

  • @AnneF,
    L'enchainement est bien "entiers - fractions - fractions décimales - décimaux".
    Sauf que normalement l'enchainement doit être le suivant : "entiers naturels - nombres premiers /puissances/critères de divisibilité/ PGCD / PPCM - fractions - fractions décimale (décimaux) - écriture décimales" ;-) Cela permet d'apprendre réellement ce que sont les nombres rationnels positifs et ne pas trainer les choses jusqu'à 3e-2nd.
  • @OShine
    "Rappel : tous les nombres ont une écriture décimale et une partie décimale. Même les nombres qui ne sont pas décimaux."
    Nombre $\pi$ a une écriture décimale, de même pour $1/3$, mais ils ne sont pas décimaux. ;-)

    Mince, @Dom était plus rapide.
  • Poser le cadre en action : plutôt que de dire en préambule qu’il faut lever la main et attendre en silence d’être interrogé, au premier élève qui prend la parole intempestivement tu lui dit qu’il n’a pas la parole et doit la demander et attendre que tu la lui donne. Normalement il lève alors la main, tu attends quelques seconde et tu lui donne la parole idéalement on utilisant son prénom.
  • Ok merci.

    Je vais modifier mon cours, je vais d'abord faire un rappel sur les entiers naturels.
  • Une remarque : personne ne définit ce qu’est un entier.
    Par contre on peut proposer des exemples d’entiers (c’est assez bête...) et préciser que dans la vie courante on les utilise pour compter des objets, des animaux ou des humains.
    C’est ensuite pour les grandeurs physiques qu’une fois après avoir choisi une unité, on n’a besoin de nombres non entiers, etc.

    Il s’agit d’une approche empirique des nombres.
    Rien de mathématique dans tout ça.
  • Oui pas mal cette introduction.
  • @Dom, si c’est mathématique. Je parle aussi de l'ensemble des nombres etc. Même la notation $\mathbb{N}$. Cela passe bien :)
  • Les ensembles, oui, les notations, oui, ce sont des mathématiques.
    Mais pas de définition, et ce n’est pas grave !
    Mais cette présentation/introduction n’est pas du tout mathématique.
    On a un peu de physique, éventuellement.
  • Le terme « nombre entier » est connu des élèves de 6e, mais c’est bien de l’appuyer. C’est les nombres avec lesquels on compte, sur ses doigts d’abord et jusqu’à 10, puis aussi loin qu’on veut (grâce à l’écriture décimale). Par analogie avec la mesure physique de distance, des nombres intermédiaires sont connus : les nombre décimaux, comme les graduations en mm sur la règle.
  • 7 594 000 000 se lit sept milliards, cinq-cent-quatre-vingt-dix millions.

    Est-ce correct ?

    Dans mon introduction sur les nombre entiers, je leur parle de la population mondiale et je leur fais placer ce nombre dans mon tableau.108122
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  • Non, là tu as écrit : $7 \ 590 \ 000 \ 000$.
  • Bonjour,

    Certains sites sont globalement bien faits et peuvent te permettre de trouver l'inspiration et de mieux maitriser le vocabulaire (d'autres, beaucoup d'autres, sont des catastrophes). Il faut toutefois garder son esprit critique, je n'ai pas trouvé d'erreur sur les sites ci-dessous, mais je suis parfois en désaccord avec l'approche ( j'ai beaucoup de mal avec Monka qui parle de "balancer de l'autre côté" pour résoudre des équations .....)

    https://www.maths-et-tiques.fr/index.php/cours-maths/cours-de-maths-niveau-sixieme#1
    http://www.jaicompris.com/
    https://www.monclasseurdemaths.fr/

    Bon courage,
    Dido
  • The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
            -- Harris, Sidney J.
  • Ça m’agace un peu quand on dit :
    Le nombre de dizaines dans 254 est 25.
    Pour moi c’est 25,4.

    Édit : « combien de dizaines on peut mettre dans ce nombre ? » demande le gars dans une vidéo issue du troisième lien donné plus haut.
    Ici, à partir de 3’45’’ : https://m.youtube.com/watch?feature=youtu.be&v=UudfsVP17Jk


    Mais je crois que c’est partagé ou plutôt je crois davantage que la phrase est ambiguë.
    On veut dire autre chose que ce qui est dit. On demande un entier de manière implicite.

    Quid de vos avis ?
  • Tu peux préciser, le nombre de dizaines entières (ou de pack de dix si tu préfères).
    The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
            -- Harris, Sidney J.
  • Autre précision, l'auteur du site monclasseur est assez actif sur la page facebook du coin boulot des professeurs de mathématiques. Yvan Monka est déjà intervenu également.
  • Oui. Il faut vraiment préciser, je pense que c’est important pour la suite.

    Je vais compter les packs de bière pendant ce temps là. :)o
  • @nicolas.patrois : Dans ce cas, plutôt dire : le nombre entier de dizaines.
  • Il faut préciser en effet. Il y a lieu de distinguer division euclidienne et division décimale. La question est imprécise, les deux réponses sont permises. Personne ne fait la distinction dans la littérature et c'est excessivement énervant.
  • Je n'ai pas de 6ème, mais il me semble que le but n'est pas de demander le nombre de dizaines dans un nombre mais de décomposer le nombre en dizaines et unité par exemple. Donc 254 sera vu comme 25 dizaines et 4 unité, ou 2 centaines, 5 dizaines et 4 unités ?
    En tout cas, je n'ai jamais compris pourquoi on passait des années, entre le primaire où ils y passent des mois puis la 6ème, sur la numération. Je ne trouve absolument aucun intérêt à tout ça pour comprendre les nombres et on ferait mieux de leur apprendre à calculer, mais je passe peut-être à côté de quelque chose ?
  • Les élèves qui ont une mauvaise représentation des nombres ont souvent ensuite des difficultés avec :
    ** les calculs (On retrouve alors des erreurs du type : 6,7 + 0,11 = 6,18, 5,6 x 10 = 50,6 (ou 5,60, etc.). ),
    ** les conversions,
    ** les fractions (certains pensent que 7/3 est égal à 7,3...)
    etc.
  • Disons que même après toutes ces années, même après l’année de 6e, tout le monde n’est pas au point du tout...
    Ainsi, tu as en partie raison.
    Seul bémol : en 6e c’est un prof de Math qui recadre (s’il sait recadrer...).

    C’est un peu comme le mauvais argument du redoublement « s’il n’a pas le niveau, alors c’est un non sens de l’envoyer dans la classe supérieur ». Problème : et s’il n’a pas le niveau l’année du redoublement ? Combien de fois faudra-t-il qu’il redouble la même classe.
  • Merci Nicolas.Patrois pour Sésamaths.

    J'ai trouvé une activité intéressante sur les fraction décimales.
  • Si les élèves me demandent : "c'est quoi la fraction de l'aire" ? je me demande quoi leur répondre.
    Je peux faire l'analogie avec un gâteau ?

    Prendre 2 parts sur 10 c'est prendre $2/10$ par exemple. Avez-vous d'autres idées ?108142
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  • Difficile d’être plus original que le découpage de gâteaux, plaques de chocolat ou autres pizzas.

    Important : quand le numérateur est plus grand que le dénominateur, ça semble impossible pour les élèves (« on peut pas »).
    L’horloge permet spontanément de ne pas se soucier de ce grand numérateur.
    Attendre « neuf quarts d’heure », ça se conçoit assez bien.
  • On peut proposer plusieurs parts de pizza pour faire plus d’une pizza.
    The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
            -- Harris, Sidney J.
  • Oui Nicolas.
    Ce qui est piégeant c’est qu’en ayant dessiné quatre quarts et trois quarts, certains élèves disent qu’on a « 7 sur 7 » car ils oublient ou bien n’ont pas compris qu’on donne toujours une proportion de quelque chose.
    D’ailleurs, dans leurs points de vue, la fraction est bonne mais ce n’est pas ce que l’on demande.
    Avec l’heure comme unité, pour une fois, l’abstraction aide bien il me semble.

    D’ailleurs ça rejoint le « nombre de dizaines » de tout à l’heure.
    Combien d’heures représentées ? 1 et 3/4 (autre réponse : 7/4).
    Combien de gâteaux représentés ? Idem.

    C’est même plus fluide que « quelle proportion d’un gâteau représentée ? ».
  • Bonjour,
    concernant les nombres décimaux, j'ai été regarder comment ils étaient introduits dans des manuels anciens.
    J'aime bien les manuels anciens car ils ont souvent une pédagogie pratique et explicite.

    Vous trouverez ci-joints les deux premiers chapitres d'un ouvrage d'arithmétique pour Ecole Primaire Supérieure (cela correspond davantage au cycle 4, mais les premiers chapitres me paraissent pouvoir être utilisés en 6ème).
    (source: Arithmétique des Ecoles Primaires Supérieures, M Royer et H Court, Armand Colin 1931)

    On constate:
    - que les nombres décimaux sont bien introduits avant la notation fractionnaire
    - qu'ils le sont en s'appuyant sur la notion pratique de mesure d'une grandeur, qui introduit la notion d'unité décimale (et de "fraction décimale", mais sans écriture fractionnaire).
    - qu'ils sont définis comme "la réunion d'un nombre entier et d 'une fraction décimale".

    Le chapitre suivant traite du système métrique, puis on revient sur les 4 opérations, avant de traiter le cas des quotients exacts, ce qui introduit aux nombres premiers puis aux fractions. Celles-ci sont d'abord décimales.

    Cordialement
  • Merci.

    Pour les exercices vous donnez ça en fin de séquence ?
    Par exemple ma première séquence est divisée en 3 parties.
    A la fin de chaque partie je donne des exercices ?
    Ou bien je les donne tout à la fin ?
  • @OShine ,
    Si les élèves me demandent : "c'est quoi la fraction de l'aire" ? je me demande quoi leur répondre.
    Je peux faire l'analogie avec un gâteau ?
    Ces exercices sont mal faits, la notion d'aire et de volume est vu plus tard dans l'année. Donc on ne peut pas les utiliser.

    Oui, tu peux faire l'analogie avec un gâteau. C'est ce qu'on appelle la notion de partage. Ils l'ont déjà vu à l'école. L'objectif en 6e est de passer de cette notion de partage à la notion du nombre. ;-)
  • Oui mais les élèves de 6ème ont déjà entendu parler d'aire en primaire non ?
  • @OShine, oui... mais la plupart ont oublié : les vacances + covid.
  • Très intéressant ce livre à ancien.
    Après certaines definitions me semblent un peu trop techniques pour le niveau actuel des élèves.
  • vorobichek a écrit:
    OShine, oui... mais la plupart ont oublié : les vacances + covid.

    C’est justement l’occasion de réviser sur des cas simples.
    The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
            -- Harris, Sidney J.
  • Oshine,
    quelles définitions te paraissent-elles trop techniques ?
  • @Mathurin, je viens de lire. Excellentes pages. Tout est expliqué. Définitions a la porté de tous.
  • Les exercices avec les bénéfices sont trop durs pour le niveau 6ème-5ème
  • Oshine,
    Concernant les "exercices sur les bénéfices". (appelés "problèmes préparatoires", car préparatoires à l'introduction de l'algèbre).
    Ce sont des révisions.
    On peut les mettre de côté dans un premier temps.
    Les élèves d'EPS étaient titulaires du Certificat d'Etudes.
    Ce n'est clairement pas le cas des élèves de 6ème d'aujourd'hui (ils n'ont pas le niveau).
    Cordialement
  • Comment expliquer à des élèves de 6ème que $12,78$ est décimal car $12,78 = 1278/100$ ?

    Je compte mettre cet exemple dans mon cours, je sais expliquer aux 4ème mais aux 6ème :-S
  • C’est la définition : il existe un entier $n$ et une puissance décimale (ici 100) tel que le nombre =n/100.
    Donc le nombre est décimal.

    Je ne comprends pas la question.

    Ou alors, tu veux savoir comment justifier l’égalité peut-être ?
    Sans calculer, par simple lecture dans le tableau de numération.

    Remarque : une caractérisation des nombres décimaux est qu’il existe une écriture décimale telle qu’à partir d’un certain rang, le seul chiffre utilisé est le $0$.
  • Bonjour Oshine,
    12,78 est décimal car en plus d'un nombre entier (12), il comprend une fraction décimale composée de 7 dixièmes et de 8 centièmes. Pas besoin d'autre justification.
    Par ailleurs on observe que déplacer la virgule d'un cran vers la droite multiplie le nombre par 10. En la déplaçant deux fois on multiplie donc par 100, d'où le résultat. (1278=12,78*100)
    Cordialement
  • Quelque chose me chagrine dans les expressions du type "12,78 est décimal car [...], il comprend une [...]". Le nombre en lui-même ne contient pas de partie machin ou de partie bidul mais c'est son écriture décimale qui contient éventuellement plusieurs parties.

    Ce vocabulaire qui se veut simple fait l'amalgame entre la nature du nombre et une représentation possible (qui plus est totalement conventionnelle et dépendant de la base choisie). Il s'en suit des représentations mentales souvent erronées des nombres y compris tard dans la scolarité qu'on retrouve par exemple quand on décrit comment les processeurs des machines actuelles représentent les nombres avec la norme IEEE754 avec des étudiants pourtant d'un bon niveau.

    Pour le coup, je trouve qu'on a fait un grand progrès en introduisant d'abord les fractions pour clarifier la représentation décimale.
  • Le nombre décimal est décrit comme ayant d'abord une représentation décimale en base 10.
    Partir d'une représentation fractionnelle (laquelle?) me parait très compliqué.

    Si tu introduis d'abord les fractions,
    tu repousses fortement l'introduction des nombres décimaux, qui s'appuyaient sur le découpage en "ordres décimaux" (dixième, centième, ...).
    Tu repousses le problème de la mesure d'une grandeur avec des sous-unités qui est pourtant assez élémentaire.
    J'ai du mal à y voir un progrès dans la possibilité de compréhension.
    Cordialement
  • troisqua,

    Tu as bien raison.
    Sauf qu’en ce qui concerne les fractions, on a à boire et à manger.
    Beaucoup oublient qu’il s’agit encore d’une écriture (écriture en fraction) et non d’un nombre.
    $0,75$ est un nombre (nature : décimal - et rationnel -) écrit en écriture décimale.
    $\frac{3}{4}$ est le même nombre écrit en fraction.
    $\frac{7,5}{10}$ est le même nombre écrit en écriture fractionnaire (mais pas en fraction).
    $3\times 0,25$ est le même nombre écrit en produit.

    On en est arrivé, sûrement pour bien faire (soyons positif), à reproduire les mêmes erreurs en ce qui concerne l’écriture en fraction.
    Quand on dit « la fraction $\frac{3}{4}$ » on parle de l’écriture d’un nombre et quand on dit « le nombre $\frac{3}{4}$ » on parle du nombre représenté par cette écriture. Les amalgames, parfois compréhensibles (il ne faut pas pousser), quand ils ne sont pas maîtrisés conduisent à plusieurs confusions.
    Par exemple, à force, on a fini par dire « la fraction $\frac{3}{4}$ est égale à ... » ce qui est un abus de langage si l’on est rigoriste (on fait coïncider le représentant d’un nombre avec le nombre).
    Mais c’est passé dans l’acceptable.
    C’est l’éternel question de savoir si l’on parle de l’objet ou de la manière de le représenter ou de l’écrire.

    On a bien déjà vu : « non, $2\times 3$ n’est pas un entier ».
  • Mathurin,

    Je préconise d’introduire les (écritures en) fractions décimales sans introduire toutes les (écritures en) fractions.

    Encore une fois, $\pi$ a bien une représentation décimale en base $dix$.

    L’idée du nombre décimale c’est que c’est un nombre entier de dixièmes ou un nombre entier de centièmes ou un nombre entier de millièmes etc.
    On reste dans les entiers, en gros, mais de morceaux particuliers (puissances décimales).
  • Désolé Dom mais $\frac{7,5}{10}$ est aussi une fraction mais ce n’est pas une fraction d’entiers.
    The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
            -- Harris, Sidney J.
  • Allons vite : si ça coïncide avec ta définition de fraction, alors ça me va.
    Pour éviter d’inclure une trop longue digression, peux-tu me la donner (ta définition), de manière brute ?
  • Dom,
    Oui je suis d'accord.
    Pi en fait possède une représentation décimale "généralisée" qui n'est pas la représentation décimale stricte, qui est limitée aux cas finis. C'est du moins, la vision traditionnelle de la chose. Les représentations décimales généralisées (dites "illimitées") sont semi-périodiques (périodiques mixtes) ou périodiques (cas des rationnels), ou apériodiques. En fait on présente une représentation décimale généralisée comme une suite de représentations décimales finies approchant le nombre par défaut.

    Ce que je comprend c'est tu proposes d'introduire la notation "fractionnaire décimale" en même temps que la notation "décimale avec virgule". Je n'y vois pas d'inconvénient, à défaut d'y voir de l'intérêt.

    Tout ce qui amènerait à retarder l'introduction des nombres décimaux (notation avec virgule), pour les subordonner à l'introduction des fractions, me parait malvenu en revanche.

    En disant cela je ne fais que reprendre la pédagogie traditionnelle qui suit le cursus suivant:
    nombres décimaux (représentation avec virgule), fractions décimales, fractions quelconques, représentation avec virgule des fractions quelconques, représentation avec virgule des irrationnels.

    Y déroger me parait soulever des problèmes pédagogiques de compréhension. Mais je peux me tromper.
    Cordialement
  • Ok Mathurin,

    Mais je ne vois pas quel serait le contenu d’un tel cours.
    Si on commence par nombres décimaux : peut-on le définir ou est-ce une notion première qu’on ne définit pas ? (Comme pour les entiers par exemple).
    N’y a-t-il pas d’ailleurs une confusion. Je vois plutôt que tu parles d’abord d’écriture décimale et moins de nombres décimaux.

    La trame que je préconise est la suivante :

    1) les entiers (notions premières).
    Introduction possible : On peut les écrire qu’avec des $1$ et des $+$ mais ça peut devenir long (c’est génial car c’est simple à comprendre ET c’est quasiment Peano).
    C’est pourquoi on va trouver une autre écriture.
    Remarque : on a admis l’associativité (voire la commutativité de $+$).

    2) écriture décimale d’un entier.
    Les dix chiffres, les regroupements par dix.
    Tableau de numération.
    Définition : quand on efface le tableau et qu’on a mis des $0$ dans toutes les cases vides, on obtient une écriture décimale du nombre entier.
    Remarque : à gauche on n’a que des zéros (une infinité), on ne les écrit pas.

    3) fraction décimale
    a)
    On partage l’unité en dix. On obtient le dixième.
    C’est le nombre $d$ tel que $d+d+d+...+d=1$ (dix termes).
    Et encore en dix pour les centièmes etc.
    On note $\frac{1}{10}$ cet unique nombre $d$ (théorème admis : il en existe un et un seul).
    On passe à la notation $\frac{m}{10}$ qui signifie somme de $m$ termes égaux à $un\ dixième $.
    Idem avec $100$, $1000$, etc.

    Définition vulgaire pour aller vite : un nombre est écrit en fraction décimale lorsqu’il est écrit avec un entier au dessus d’un trait (de fraction) et une puissance décimale en dessous.

    b)
    On prolonge le tableau à droite par des colonnes.
    Définition : quand on efface tout le tableau et qu'on met des zéros dans les cases vides, on obtient une infinité de zéro à gauche (qu'on efface) et PARFOIS une infinité de zéros à droite (qu’on efface), on obtient une écriture mais on ne sait plus quel est le chiffre des unités. Alors on l’indique avec un $u$ juste au dessus du chiffre des unités ou en entourant ce chiffre des unités ou en mettant un petit coeur en dessous ou plus simplement en plaçant une virgule.

    4) nombres décimaux
    C’est là pour moi que ça arrive.
    Bon, ça peut arriver dans le 3) quand je parle du « PARFOIS ».
    Définition vulgaire : un nombre est décimal lorsqu’il en existe une écriture en fraction décimale.

    Remarque : donc il existe une écriture décimale du nombre qui n’utilise qu’un nombre fini de chiffres.
  • Dom a écrit:
    Allons vite : si ça coïncide avec ta définition de fraction, alors ça me va.
    Pour éviter d’inclure une trop longue digression, peux-tu me la donner (ta définition), de manière brute ?

    Le corps des fractions d’un anneau intègre, ça te va ? :-D
    Plus sérieusement, ces définitions à la mords-moi la nouille qui distinguent des trucs qui n’ont aucun intérêt, ça m’énerve. Et on va pinailler sur définitions (certes on peut définir ce qu'on veut) qui ne sont pas cohérentes avec ce qu’on fait ailleurs en maths. Pire, on va piquer des points en DS sur des trucs qui ne servent à rien et qui ne sont pas cohérents (comme si un collègue de CM2 piquait des points à Kevin parce qu’il a écrit qu’un carré est un rectangle).
    On peut plutôt s’intéresser au fait que 2,4 n’est pas une écriture fractionnaire mais une écriture décimale d’un nombre décimal. $\frac{24}{10}$, $\frac{12}{5}$, $\frac{2,4}{1}$ ou $\frac{1,2}{0,5}$ sont des écritures fractionnaires du même nombre. Donc 2,4 est aussi une fraction. On pourrait être plus précis en entourant les expressions avec des guillemets de citation, pour distinguer si on parle du nombre ou d’une de ses écritures.
    The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
            -- Harris, Sidney J.
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