Produit de Yoneda pour les ext

Prière de transformer en Postcript ou en image pour que ce soit lisible par le commun des mortels.

Si tu connais les catégories dérivées, tu as $Ext^p(A,B) = Hom(A,B[p])$ (prendre une extension, la décomposer en petites suites exactes et composer les morphismes de Bockstein).
Le produit des Ext est induit par la composition dans la catégorie dérivée:
$$
Hom(A,B[p]) \times Hom(B,C[q]) =
Hom(A,B[p]) \times Hom(B[p],C[p+q]) \to
Hom(A,C[p+q]) .
$$

Quelle est ta définition des Ext?

Bon je te donne une esquisse de la preuve.

Tu cherches un objet filtré $F_2\subset F_1\subset E$ qui induise les deux suites exactes de départ. En particulier, tu dois avoir une extension
$$
0 \to F_1 \to E \to E/F_1\to 0
$$
qui compte tenu des identifications s'écrit
$$
0 \to E_2 \to E \to M_1 \to 0.
$$

On a une suite exacte des Ext en appliquant $Hom(M_1,-)$ à l'extension de $E_2$ qui s'écrit
$$
\cdots \to
Ext^1(M_1,E_2) \to
Ext^1(M_1,M_2) \to
Ext^2(M_1,M_3) \to \cdots.
$$
L'image de $\gamma_1$ dans le Ext^2 est le produit de Yoneda $\gamma_2\gamma_1$. Donc il est nul ssi $\gamma_1$ provient d'une classe d'extension dans $Ext^1(M_1,E_2)$: la classe de l'objet $E$ en question.

Le premier paragraphe sert à expliquer le raisonnement: plutôt que de supposer que le produit est nul et de chercher à faire apparaître E, il vaut mieux commencer par étudier la réciproque. Si la rédaction laisse à désirer (j'en conviens) c'est qu'il s'agit seulement d'une esquisse de preuve.

Pour ce qui est de ta question sur le produit de Yoneda, j'utilise le fait suivant.

Soit
$$
0 \to B \to E \to A \to 0
$$
une extension de classe $\gamma \in Ext^1(A,B)$. Alors, pour tout objet $M$, on a suite exacte longue des $Ext^i(M,-)$ où le morphisme de liaison
$$
\partial : Ext^i(M,A) \to Ext^{i+1}(M,B)
$$
est donné par le produit de Yoneda par la classe $\gamma$.



Je ne sais pas trop comment l'expliquer sans les catégories dérivées mais je peux essayer de le démontrer simplement si tu me rappelles la définition du produit de Yoneda que tu utilises.