EDS

Polo0 · September 2005

Bonjour,

Une question m'est venue à l'esprit au sujet d'un théorème d'existence de solutions à une EDS.

$$(\star)\qquad S_t=S_0+\int_0^t a(u,S_u)du+\int_0^t b(u,S_u)dW_u\qquad t\in[0,\infty[$$
où $a$ et $b$ sont mesurables.

On a le théorème d'existence d'Itô.
Pour pouvoir l'appliquer, on doit avoir des coefficient lipschitziens (voire localement lipschitziens) par rapport à la variable d'espace et uniformément en la première variable.

Dans le cas où on restreint $(t,x)\in[0,T[\times[A,B]$, peut-on remplacer les conditions d'application du théorème général à des conditions sur cet espace restreints? (ie applications lipschitziennes quand les variables évoluent dans ce plus petit espace) ou alors est-on obligé de considérer l'EDS dans l'espace plus grand, puis de restreindre la solution à l'espace plus petit?

Merci d'avance pour votre aide

Sigma · September 2005

Bonjour,

Je suis comme toi, je ne connais que le théorème d'Itô sur $\R^+ \times \R$. Mais à mon avis, le caractère lipschitzien dans l'espace plus petit doit suffire. A vérifier!

@+

Polo0 · September 2005

Salut,

Je l'espère en tout cas!

Il faudrait que je retrouve la démo histoire de voir où interviennent les hypothèses, mais j'avoue qu'un avis d'expert nous aiderait bien non?

@++

Sigma · September 2005

Oui je suis d'accord. Dans quel but cherche tu à résoudre l'EDS dans cet ensemble restreint?

@+

Polo0 · September 2005

ReSalut,

En fait, les conditions d'existence sur les coeff de l'EDS ne sont pas vérifiées et disons que "physiquement", la variable d'espace ne descendra jamais sous un certain niveau ni n'en dépassera un autre, donc je souhaite valider l'existence d'une solution réaliste à mon EDS

Okay0 · September 2005

On utilise exactement ce processus d'Itô pour modéliser la trajectoire aléatoire de la valeur d'actifs financiers. Mais ds les modèles plus élémentaires que j'utilise, a et b sont des constantes, j'avoue c'est moins rigolo....
Enfin ds ce cas simpliste, à l'aide du lemme d'Itô, il me semble qu'on arrive rapidement à ce résultat :

$S_t = S_0e((a-1/2b^2)t+bdW_t)$

Sigma · September 2005

Certes Okay, mais ce n'est pas la question il me semble (et il faut remplacer $dW_t$ par $W_t$).

La question est de savoir si avec les mêmes hypothèses mais valables dans un sous ensemble seulement, on peut trouver une solution dans ce sous ensemble.

A mon avis, ce n'est pas la variable de temps qui va poser problème. En effet, quand on échange $\R^+$ par $[0,T[$, on échange deux ensembles topologiquement très comparables.

Par contre au niveau de l'espace c'est délicat: si physiquement la valeur n'est effectivement jamais atteinte, ton modèle par brownien explore bien d'autres domaines...

@+

Okay0 · September 2005

Oui je me doute que mon intervention ne resolvait rien...
et j'avoue que mes connaissances limitées sur les intégrales stochastiques ne me permettent pas du tout de me prononcer sur les conséquences de considérer un sous ensemble pour la variable d'état. Mais mon petit doigt me dit quand même que ça ne doit pas etre innocent. Je ne pense pas qu'on puisse restreindre directement la solution, mais qu'il faut considérer la contrainte posée dès la résolution. Je ne peux donner suite à cette intuition...

EDS

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