Groupe: ordre fini => produit fini?

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dans Algèbre
Bonjour, soient $g$ et $h$ deux éléments d'ordres finis de $G$ groupe d'ordre infini.
Est-ce que l'on a $gh$ d'ordre fini $\implies$ $g$ et $h$ commutent?

Sinon quel est le contre-exemple? Merci.

Réponses

  • aurelpage
    aurelpage
    Salut,

    On peut plonger tout groupe fini dans un groupe d'ordre infini, donc si cette propriété était vraie tout groupe fini serait commutatif ! ;-)

    Amicalement,
    Aurel
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Prends g et h deux symétries axiales du plan, d’axes des droites qui font un angle de 60°.
    gh est d’ordre fini (3, c’est une rotation d’angle 120° ou -120°) mais g et h ne commutent pas (tu as une rotation d’angle 120° ou -120°, selon).
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Code_Name
    Code_Name
    Merci pour vos réponses! :-)
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