Sous-groupes de Borel de GL(2,k)

Bonjour à tous

Notons par $G$ le groupe $GL_{2}(\mathbb{F}_q)$, où $\mathbb{F}_q$ est le corps fini à $q$ éléments. On note $X$ l'ensemble des sous-groupes de Borel de $G$. Si on note par $B$ le sous-groupe de Borel standard de $G$, ie. $$
B=\begin{pmatrix}
\mathbb{F}^{\times}_{q} & \mathbb{F}_{q} \\
0 & \mathbb{F}^{\times}_{q}
\end{pmatrix}
$$ alors on sait que l'ensemble des sous-groupes de Borel de $G$ est $X=\{gBg^{-1}\mid g\in G\}$. En effet $G$ agit transitivement par conjugaison sur l'ensemble des sous-groupes de Borel et le normalisateur d'un Borel est égale à lui-même.

Est-ce que l'action de $G$ par conjugaison sur l'ensemble des sous-groupes de Borel est 2-transitive ?