Surfaces de Riemann

Qu'est-ce que tu appelles une surface de Riemann?
Comme surface topologique la surface de Riemann de $\sqrt z$ c'est $R^2$ c'est a dire un disque de meme que celle du logarithme. Ca serait bien sur different si tu prenais $\sqr{z^2-1}$ qui est un cylindre ou $\sqrt{z^3-z}$ qui est un tore moins un point.
Mauricio

C'est intuitif, je suis d'accord mais si tu veux une reponse precise, il faut une question precise. Il y a deux definitions possibles.
Definition 1. c'est une surface topologique muni d'une structure complexe (=localement tu as une coordonnee $z$).
ou bien
Definition 2. c'est une application holomorphe f:X \to \CM ou X est comme dans la definition 1
Par exemple si tu prends la definition 2 (qui est celle de H. Cartan) alors tes
deux exemples sont differents (log et racine) mais si tu prends la definition 1 (qui est la plus courante) alors ils sont identiques.
MAuricio.

Pardon CM=nombre complexe.
Je te donne un exemple, pour Cartan "fonctions d'une variable complexe"
f:C -> C, w -> w^2 est "une surface de Riemann" (si je me souviens bien)
LA terminologie moderne est differente C (les nombres complexe est une surface de Riemann) et f est une application holomorphe entre surfaces de Riemann
Autrement dit si $w=\sqrt z$ alors
X=\{ (z,w):w^2=z \} est une surface de Riemann qui est analytiquement equivalente a C.
Si tu veux il n'y a pas d'axiomatisation de la construction de Riemann avec les feuillets, les courpures etc.
MAuricio

Pardon CM=nombre complexe.

Je te donne un exemple, pour Cartan "fonctions d'une variable complexe"
$f : \C \rightarrow \C,\ w \mapsto w^2$ est "une surface de Riemann" (si je me souviens bien)
La terminologie moderne est différente $\C$ (les nombres complexes, est une surface de Riemann) et $f$ est une application holomorphe entre surfaces de Riemann.
Autrement dit si $w=\sqrt z$ alors $X=\{ (z,w)\mid w^2=z \}$ est une surface de Riemann qui est analytiquement équivalente à $\C$.
Si tu veux il n'y a pas d'axiomatisation de la construction de Riemann avec les feuillets, les courbures etc.
MAuricio