Espace affine, espace euclidien

Un espace affine est un ensemble de point.
Une espace euclidien est un espace vectoriel sur lequel tu as un produit scalaire. Si l'espace vectoriel, associe a un espace affine, est euclidien, ton espace affine est dit euclidien.

Dans le plan, l'ensemble des vecteurs est un espace vectoriel. Par contre, si tu prends par exemple un repere $(O,\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath})$ alors la droite d'équation $y=x+2$ definit une droite affine.

En general, si la base $(O,\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath})$ est orthonorme, ton produit scalaire entre les vecteurs $\overrightarrow{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{u'}(x';y')$ est défini par :
$$ x x' + y y' $$

Lionel

Les calculs se font via l'espace vectoriel associe a ton espace affine. Ensuite, si tu veux faire des calculs, il faut te placer dans un repere et utiliser des coordonnées.
Par exemple, dire que $M'$ est l'image de $M$ par la symetrie de centre $I$ veut dire que $I$ est le milieu du segment $[MM']$ (que tu peux aussi traduire vectoriellement).
Maintenant, si les coordonnées de $M$ (resp. $I$) sont $(x;y)$ (resp. $(x_I;y_I)$) dans un repère, alors les coordonnées de $M'$ sont $(x';y')$ définies par :
$ \frac{x+x'}{2}=x_I $ et $ \frac{y+y'}{2}=y_I $.

Lionel