somme des inverses des nombres premiers

Oui, la première partie de cette majoration utilise le fait que tout nombre premier $p$ vérifie $p \geqslant 2$, et la seconde partie utilise le maximum de $f$ calculé à la question (c).

Complément (non indispensable) : il existe une autre méthode, plus générale, pour arriver à ce résultat. Soit $f$ une fonction multiplicative telle que : $$\lim_{p^{\alpha} \longrightarrow \infty} f(p^{\alpha} = 0$$ où $p$ est un nombre premier et $\alpha \in \N^{*}$. Alors $$\lim_{n \longrightarrow \infty} f(n) = 0.$$ On applique ce lemme à la fonction multiplicative $\displaystyle {\frac {d(n)}{n^{\varepsilon}}}$. Puisque $d(p^{\alpha}) = \alpha + 1$, et que : $$\frac {\alpha + 1}{p^{\varepsilon \alpha} \leqslant \frac {2(1 + \ln q)}{q^{\varepsilon}} \longrightarrow 0$$ lorsque $q \longrightarrow \infty$, où l'on a posé $q = p^{\alpha}$, alors on obtient bien $d(n) = O(n^{\varepsilon})$. La meilleure borne explicite a été obtenue par Guy Robin qui a montré, en utilisant les entiers hautement composés, que, si $n \geqslant 3$, alors on a : $$d(n) \leqslant n^{1,068/\ln \ln n}.$$

Borde.

Salut borde,

tes messages sont toujours aussi impressionnants pour le profane que je suis. Mais je me pose une question : dans certains de tes posts tu parles souvent de "meilleurs bornes" pour tes inégalités impliquant des fonctions en lien avec les nombres premiers, comment les chercheurs trouvent-ils ce genre de bornes ? D'où sort par exemple ce 1,068 ? Est-ce un résultat purement numérique (j'en doute) ou théorique ?

Amicalement,

Ce sera un plaisir pour moi aussi. Ces bornes explicites qui me semblent sortir de nulle part m'intriguent.

Bonjour Kuja,

Voici le théorème principal de l'article de Jean-Louis Nicolas et Gy Robin : {\it Majorations explicites pour le nombre de diviseurs de $n$} (Canad. Math. Bull. {\bf 26} (1983), 485-492).

Soit $\tau(n) = \sum_{d \mid n} 1$ le nombre de diviseurs de $n$, et $f$ la fonction définie par $\displaystyle {f(n) = \frac {\ln (\tau(n)) \ln \ln n}{\ln 2 \ln n}}$. Alors, le maximum de $f$ est atteint en $n = 6983776800 = 2^5 \times 3^3 \times 5^2 \times 7 \times 11 \times 13 \times 17 \times 19$ et l'on a $\max_{n \geqslant 2} f(n) = 1,5379$.

A noter que la preuve ne nécessite pas le théorème des nombres premiers, mais seulement des majorations élémentaires $\pi(x) \leqslant x/2$ dès que $x \geqslant 8$ et $\theta(x) \leqslant x \ln 3$, cette dernière provenant d'un résultat dû à Hanson (1972).

Quant à une généralisation aux fonctions de Piltz $\tau_k$ de cette inégalité, les auteurs ont annoncés en 2001 une preuve procaine de la majoration suivante : pour tout $n \geqslant 3$ et $k \geqslant 2$ entiers, alors $$\ln (\tau_k(n)) \leqslant 1,53794 \times \frac {(\ln k)^2 \ln n}{\ln 2 \ln \ln n}.$$ A ma connaissance, cette preuve n'a pas encore été publiée, et j'attends...

A +

Borde.

Bonjour Borde,

merci beaucoup pour les détails. Je vais y jeter un oeil de ce pas.

Amicalement,

Je vais répondre à tour de rôle...

Pour debo : le lemme mis dans mon message figure en bonne place dans tous les cours de théorie analytique de nombres. Je peux, si tu le souhaites, reproduire une preuve ici, mais, quoi qu'il en soit, tu en trouveras une dans l'excellent livre de {\bf Polya et Szegö} : {\it Problems and theorems in Analysis} II, Springer. On le retrouve aussi dans le {\Tenenbaum} : {\it Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres}, SMF (1995), livre que je conseille si tu veux t'y lancer (si Tenenbaum savait le nombre de fois que j'ai fait de la pub pour son bouquin !...).

Pour Ernest : tout d'abord, je suis loin d'être "érudit", rassure-toi !

D'autre part, ta série est bien convergente, puisqu'il s'agit de la série : $$\sum_{p} \frac {\chi_4(p)}{p}$$ où $\chi_4$ désigne l'unique caractère primitif réel de Dirichlet modulo $4$. Une preuve de ce résultat, n'utilisant pas le logarithme complexe, mais de simples relations de convolution et les inégalités de Tchebychev, figure dans mon livre qui sortira...bientôt (mais je ne sais pas exactement quand !). Cette série n'est en fait qu'un cas particulier de la convergence de la somme $$\sum_{p} \frac {\chi(p)}{p}$$ où $\chi \not = \chi_0$ est un caractère {\it non principal} de Dirichlet de module quelconque $q$, et c'est la preuve originale de Dirichlet de son célèbre {\it théorème de Dirichlet}. Sa démonstration utilise le logarithme complexe, que je n'aime pas, et, surtout, passe par le très délicat résultat suivant :$L(1;\chi) \not = 0$ pour tout caractère non principal $\chi \not = \chi_0$ de Dirichlet modulo $q$. J'espère avoir correctement répondu !

Borde.

C'est ça...chez Ellipses.

Borde.