Sinus et déterminant

Quelles connaissances as-tu ? Il existe des preuves de tous niveau des formules correctes :
1) MA MB Sin(vect(MA),vect(MB)) = déterminant(vect(MA),vect(MB))

2) MA MB Cos(vect(MA),vect(MB)) = Produit scalaire vect(MA)*vect(MB)

Alors :
a) Voir les chapitres 'Produit vectoriel'. On peut aussi calculer la surface d'un triangle donné par les longueurs de deux côtés et l'angle entre ces côtés (calcul par les longueurs égale calcul par des coordonnées)
b) C'est l'une des définitions du produit scalaire. Sinon, on se ramène à des vecteurs unitaires.

Tout ça se trouve dans les bouquins de prépa ou dans les bouquins de préparation au Capes (et autredois dans ceux de première STI !!!).

Bonjour Robin des Bois.

Bravo pour ta persévérance, tu y arriveras.

Comme te l'as dit pol, la formule du sinus donne a priori des mesures d'angles comprises entre $-\dfrac \pi 2$ et $\dfrac \pi 2$.

Un angle ne peut se caractériser que par la connaissance de deux de ses quatre (six en comptant la sécante et la cosécante qui sont tombées en désuétude chez les matheux) lignes trigonométriques, essentiellement par son sinus et son cosinus (mais il revient au même, par exemple de connaître le cosinus et la tangente).

Pour le plaisir des yeux (mais à peu près uniquement pour cela), voici une formule qui donne la détermination principale (mesure appartenant à l'intervalle $]-\pi,\pi]$) de l'angle orienté du couple de vecteurs unitaires $(\vec u,\vec v)$ {\bf non colinéaires} :
$$\frac{\det\nolimits_{(\vec i,\vec j)}(\vec u,\vec v)}{|\det\nolimits_{(\vec i,\vec j)}(\vec u,\vec v)|}\,\arccos(\vec u \cdot \vec v)$$
où $(\vec i,\vec j)$ est une base orthonormée orientée directe.

Le terme fractionnaire qui ne prend que l'une des deux valeurs $1$ ou $-1$ est uniquement là pour déterminer le signe de la mesure ; la fonction $\arccos$ a pour image $[0,\pi]$, en éliminant le cas où les deux vecteurs sont colinéaires on obtient une mesure d'angle orienté dans $]-\pi,\pi[$.

Bruno

Tu veux sans doute dire que je ne sais pas m'arrêter :-))

Bruno