Foncteur inverse de Galois

Pablo_de_retour
Pablo_de_retour
dans Algèbre
Bonjour à tous
J'aimerais savoir s'il est possible de construire à partir d'un groupe quelconque $ G $ une extension de Galois $ E/K $ ?
Autrement dit, est-il possible de construire un foncteur $ F \ : \ \mathrm{Gr} \to \mathcal{E} $ défini par, $ F(G) = E $ ?
$ \mathrm{Gr} $ est la catégorie des groupes.
$ \mathcal{E} $ est la catégorie des extensions galoisiennes.
Merci d'avance.

Réponses

  • Maxtimax
    Maxtimax
    Oui : à tout groupe j'associe l'extension $\C/\R$, et à tout morphisme, l'identité.
  • Pablo_de_retour
    Pablo_de_retour
    Merci Maxtimax.
    As-tu un autre exemple un peu compliqué cette fois çi ?
    Merci d'avance.
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Plus compliqué, je ne sais pas, mais il en aurait peut-être un plus intéressant si tu posais ton problème correctement...
  • Pablo_de_retour
    Pablo_de_retour
    Par exemple, je cherche $ G $ un groupe abstrait ( i.e, non lié à la structure de groupe de Galois de $ \mathbb{Q} [X] / ( X^2 - 2 ) = \mathbb{Q} ( \sqrt{2} ) $ ), et $ F \ : \ \mathrm{Gr} \to \mathcal{E} $ un foncteur tel que, $ F(G) = \mathbb{Q} [X] / ( X^2 - 2 ) = \mathbb{Q} ( \sqrt{2} ) $.
    Derrière $ F $, doit se cacher toute une théorie nouvelle qu'on ne connait pas encore actuellement.
    Comme en théorie des schémas, le foncteur $ \mathrm{Spec} $ défini par $ \mathrm{Spec} (T) = X $ permet d'associer la théorie des anneaux, à la théorie des schémas. ça doit être un peu ça pour $ F \ : \ \mathrm{Gr} \to \mathcal{E} $.
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Si tu ne veux pas comprendre que tel que tu poses le problème, il suffit de poser $F(\mathfrak{G}) = \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ pour tout groupe $\mathfrak{G}$ pour répondre à ta question, que veux-tu qu'on te dise ? Ton problème est mal posé et devient trivial/inintéressant à résoudre.
  • Pablo_de_retour
    Pablo_de_retour
    Homo Topi a écrit:
    Ton problème est mal posé

    Comment faire pour le rendre bien posé @Homo Topi ?. Moi, je ne vois pas comment faire ça. :-(
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Ah, ça, c'est à toi de le trouver.

    Personnellement, j'aurais considéré comme intéressant le problème suivant : à partir d'un groupe $G$, peut-on trouver une extension galoisienne $K$ de $\mathbb{Q}$ telle que $G \simeq \text{Gal}(K/\mathbb{Q})$ ?

    Mais tu as dit que ce n'est pas ça qui t'intéresse. Vu que comme d'habitude, tout ce que tu racontes c'est du charabia, difficile de trouver quelque chose de concret dans ce que tu dis.
  • Poirot
    Poirot
    Homo Topi a écrit:
    à partir d'un groupe $G$, peut-on trouver une extension galoisienne $K$ de $\mathbb{Q}$ telle que $G \simeq \text{Gal}(K/\mathbb{Q})$ ?

    C'est un problème largement ouvert. Au passage il faut bien sûr prendre $G$ fini (même si on peut aussi se poser la question pour des groupes profinis en général).
  • Pablo_de_retour
    Pablo_de_retour
    Oui, c'est au problème inverse de Galois auquel je pense Poirot.
    Je cherche si on peut trouver un adjoint à droite $ F \ : \ \mathrm{Grp} \to \mathcal{E} $ du foncteur de Galois, $ \mathrm{Gal} \ : \ \mathcal{E} \to \mathrm{Grp} $ vérifiant : $ \mathrm{Hom} ( \mathrm{Gal} ( E ) , G ) = \mathrm{Hom} ( E , F (G) ) $.
  • aurelpage
    aurelpage
    Salut Pablo,

    C'est un problème bien posé que tu énonces ici. Malheureusement, c'est impossible. Par exemple, en prenant $E = F(G)$, cela impliquerait $\# Hom(G,G) = \# Hom(E,E) = \# G$, ce qui est rarement vrai.

    Amicalement,
    Aurel
  • Pablo_de_retour
    Pablo_de_retour
    Merci pour ces précisions @aurelpage.
    Cordialement.
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