Démonstration

Florent · September 2005

Bonjour je voudrais savoir si quelqu'un a la démonstration suivante :

Pour tout nombre réel a et pour tout nombre réel x, exp(a+x) = exp(a) . exp(x)

Il me manque cette démonstration dans mon cours de term

nathan_g · September 2005

Si tu admets que ln(a+b) = ln(a) + ln(b), tu peux faire demonstration par le passage au logarithme, les deux termes ayant le même logarithme :

ln(exp(a+x)) = a + x par définition de exp

ln(exp(a)*exp(x)) = ln (exp(a)) + ln (exp(x)) = a + x

Florent · September 2005

Non mais normalement cette démonstration est introduite avant la notion de fonction logarithme neperien.
On a que 3 propriétés utilisable :
exp est une fonction dérivable sur R
Quelque soit x réel, exp'(x) = exp(x)
exp(0) =1

GLaG · September 2005

Si on sait que l'exponentielle ne s'annule pas, on peut considèrer la fonction g(x)=exp(a+x)/exp(x) : sa dérivée est nulle, donc elle est constante. Mais pour démontrer que l'exponentielle ne s'annule pas avec seulement les trois propriétés ci-dessus : ?

Florent · September 2005

Voici l'exercice comme il est posé (je l'ai trouvé sur internet, ce sont les exercices pour la préparation au bac 2005)

Prérequis : La fonction exponentielle, notée exp, a les 3 propriétés suivantes :
* exp est une fonction dérivable sur R
* Sa fonction dérivée, notée exp', est telle que, pour tout x réel, exp'(x)=exp(x)
* exp(0) =1
En utilisant que ces 3 propriétés de la fonction exp, démontrer successivement que :
1/ Pour tout x réel, exp(x) x exp(-x) = 1
2/ Pour tout nombre a réel et pour tout x réel, exp(a+x)=exp(a) x exp(x)

Pour 1/ j'ai considéré la fonction f telle que f(x) = exp(x) x exp(-x)

f est le produit de 2 fonctions dérivables sur R donc f est dérivable sur R

f'(x) = exp(x) x exp(-x) - exp(x) x exp(-x)
= 0

GLaG · September 2005

Ah ben voilà, c'est gagné : tu viens de montrer que exp(x) exp(-x) est constant, et comme cela vaut 1 en 0, le 1) est prouvé. Mais cela prouve aussi que l'exponentielle ne s'annule jamais : si on avait exp(x)=0 pour une certaine valeur de x, exp(x) exp(-x) vaudrait 0 aussi.

Ensuite, ce que je propose marche, pour le 2).

Florent · September 2005

Posons g(x) = exp(a+x)/exp(x)
g est définie sur R car pour tout x, exp(x) différent de 0.

g est le quotient de fonctions dérivables sur R donc g est dérivable sur R
g'(x) = [exp(a+x) x exp (x) - exp (x) x exp(a+x)]/ [exp(x)]²
g'(x) = 0

Donc pour tout x réel, g(x) = k avec k réel fixé.
d'ou exp(a+x)/exp(x) = k
cette propriété est vraie quelque soit x et en particulier pour x =0.
exp(a)/1 = k d'où k= exp(a)

d'où exp (a+x) = exp (a) x exp (x)

Merci apparament j'ai trouvé

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