Anneaux des entiers d'un corps local

Il me semble (c'est un peu loin pour moi, mais j'ai le souvenir que ça se fait avec le lemme de Krasner), qu'en notant $\beta$ tel que $K = \mathbb Q_p(\beta)$, on dispose de deux corps de nombres $K' = \mathbb Q(\beta)$ et $L' = K'(\alpha)$ dont les complétés en n'importe quelle place au-dessus de $p$ sont isomorphes à $K$ et $L$ respectivement, et donc de même pour leurs anneaux d'entiers.

Alors comme $\mathcal O_{L'}$ est un $\mathcal O_{K'}$-module de type fini, on a le résultat en passant aux complétés : si $x \in \mathcal O_L$, on prend une suite dont le terme général est $x_{1, n}e_1 + \dots + x_{d, n}e_d$ avec $\{e_1, \dots, e_d\}$ famille génératrice de $\mathcal O_{L'}$ en tant que $\mathcal O_{K'}$-module et les $x_{i, n} \in \mathcal O_{K'}$, convergeant (quand $n$ tend vers l'infini) $p$-adiquement vers $x$. Comme $\mathcal O_K \supset \mathcal O_{K'}$ est compact, on peut extraire et quitte à introduire des sous-suites, on peut supposer que chaque $(x_{i, n})_n$ converge vers un $x_i \in \mathcal O_K$. Finalement (les opérations de corps sont continues) on obient $x = x_1e_1 + \dots + x_ne_n$ avec les $x_i \in \mathcal O_K$.

Bonsoir,

En effet, j'ai écrit n'importe quoi : l'extension est totalement ramifiée. J'essaie de me racheter avec une preuve correcte (à vérifier !) :-)

Il n'y a pas de méthode générale qui te donnera à tous les coups une forme simple pour l'anneau des entiers. Les bons cas sont ceux où tu peux découper ton extension en morceaux qui sont soit non-ramifiés et que tu peux écrire un générateur de l'extension résiduelle, soit totalement ramifiés et que tu peux écrire une uniformisante. On peut toujours se ramener à ces cas mais ce n'est pas toujours facile à faire de manière explicite. Pour un exemple fixé (pas une famille) il y a des algorithmes généraux (les plus classiques étant appelés Round 2 et Round 4).

Ton exemple est souvent un bon cas :

On suppose $p\neq 2$ et $2^{p-1}\neq 1 \bmod{p^2}$ (ça arrive souvent, cf Wieferich primes). Soit $F = \Q_p(\zeta_p)$, $\alpha = 2^{1/p}$ et $\pi = \alpha/2-1$ qui est entier sur $F$. Le polynôme minimal de $\pi$ sur $F$ est $E(X) = (2(X+1))^p-2$. Modulo $p^2$ on a $E(X) = 2^p(X^p+1+pX^{p-1}+pX)-2 = 2^pX^p + 2^ppX^{p-1} + 2^ppX + 2^p-2$, et $E$ est donc d'Eisenstein. L'élément $\pi$ est donc une uniformisante, donc l'anneau des entiers est bien $\Z_p[\zeta_p,\pi] = \Z_p[\zeta_p,\alpha]$.

Peut-être que c'est aussi le cas si $2^{p-1}=1\bmod{p^2}$, je n'ai pas trop le temps d'y réfléchir.

Amitiés,
Aurel

$\newcommand{\maxi}{\mathfrak{m}}$Bonjour,

Tu peux me tutoyer ! :-)

Tu as raison, j'ai regardé rapidement sur $\Q_p$ mais je n'ai pas été très prudent sur l'extension finale...

Ok reprenons le cas général (mais $p\neq 2$). Notons $v$ la valuation absolue (i.e. $v(p)=1$) et $v_K,v_L,v_F$ etc les valuations normalisées (i.e. d'image $\Z$ sur les corps correspondants). Je note $\varpi = \zeta_p-1$.

Soit $k = v(2^p-2) = v(2^{p-1}-1)$. On a $0 < k < p-1$.
Soit $\beta=\alpha/2-1$ qui est de polynôme minimal $E(X) = (X+1)^p-2^{1-p}$. Si $k=1$, le polygone de Newton de $E$ est un unique segment de longueur $p$ et pente $1/p$; si $k>1$ c'est un segment de longueur $p-1$ et pente $1/(p-1)$ suivi d'un segment de longueur $1$ et pente $k-1$ (si je ne me suis pas trompé en calculant les valuations...).
Du coup je reste sur le cas $k=1$ parce que j'ai la flemme de faire l'autre (mais ceci dit je crois que de toute façon ça montre que $2$ est une puissance $p$-ième dans $F$ quand $k>1$, ce qu'on doit aussi pouvoir voir avec le développement en série de $x \mapsto (1+x)^{1/p}$).
On obtient $v_L(\beta) = p(p-1)v(\beta) = p-1$. Par ailleurs $v_L(\varpi) = pv_F(\varpi) = p$.

Par ailleurs il est clair que $\Z_p[\zeta_p,\alpha] = \Z_p[\varpi,\beta]$. Soit $\maxi$ l'idéal maximal de l'anneau des entiers de $L$. Soit $x = \sum_{i,j}x_{i,j}\varpi^i\beta^j$ avec $x_{i,j}\in \Z_p$. Alors $x \bmod{\maxi^{p-1}} = x_{0,0} \bmod{p}$. Donc $\Z_p[\varpi,\beta]$ ne se surjecte pas sur l'anneau résiduel mod $\maxi^{p-1}$ et ne peut donc pas être l'anneau des entiers de $L$ (alors que $\Z_p[\alpha]$ est l'anneau des entiers de $\Q_p(\alpha)$ : comme tu dis, c'est plus délicat !). En revanche, $\pi = \varpi/\beta$ est une uniformisante donc $\Z_p[\pi]$ est l'anneau des entiers de $L$.

Bon, j'espère ne pas avoir laissé d'autres erreurs... :-)

Amicalement,
Aurel