Série formelle nilpotente

jerome · September 2005

Bonjour,

petite question : si $A$ est un anneau unitaire commutatif, l'assertion suivante est-elle vraie :

Si $\forall n \in \N$, $a_n \in A$ est nilpotent, alors la série formelle $\sum_{n\geq 0} a_n X^n$ est nilpotente.

J'ai l'impression que c'est faux, mais je n'arrive pas à construire de contre-exemple. En gros, je pensais que si j'arrivais à construire une anneau commutatif comportant une infinité d'éléments nilpotents (disons d'ordre 2) distincts deux à deux, alors $\forall m \in \N$, le coeff $c_{(m-1)m/2}$ de $f^m$ contient le terme $a_0a_1...a_n-1$, qui n'est pas nul (alors que tous les autres le sont). Donc la série formelle n'est pas nilpotente.

Mais je me complique peut être un peu la vie.

Merci de votre aide,

Jérome

jerome · September 2005

Lire $a_0a_1...a_{n-1}$ et non $a_0a_1...a_n-1$

YB0 · September 2005

Ton exemple semble fonctionner en prenant $A$ l'anneau
$$
k[\varepsilon_i,i\in \N]/(\varepsilon_i^2)
$$
(produit tensoriel d'une infinité d'anneaux de nombres duaux)
et la série
$$
f = \sum \varepsilon_i X^i.
$$

Vincent · September 2005

Une remarque qui n'aide pas à la résolution de l'exercice mais juste pour le plaisir.

Si l'anneau $A$ est noetherien alors $f \in AX$ est nilpotente si et seulement si tous les coefficients sont nilpotents.

Vincent

Série formelle nilpotente

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