formule des polyèdres : A=S+F-2

Scellier Benjamin
Scellier Benjamin
dans Les-mathématiques
Bonjour à tous,
Je suis nouveau sur ce forum

je voulais vous demander si vous saviez comment démontrer la formule qui dit que, pour tt polyedre, son nombre d'aretes est égal à la somme de ses faces et de ses sommets -2.

Si quelqu'un avait une démonstration ou une idée, je suis preneur.
Merci d'avance
A bientot

Réponses

  • GERARD5
    GERARD5
    La formule est fausse pour un polyèdre quelconque. Un joli livre sur cette preuve : Le livre de Lakatos "Preuves et réfutations".
  • YB0
    YB0
    La preuve la plus élégante et conceptuelle utlise l'homologie et plus précisément la caractérisque d'Euler du polyèdre convexe $X$:
    $$
    \chi(X) = \sum (-1)^i dim H_i(X)
    $$
    $X$ a une structre de complexe cellulaire. Les cellules de dimension i = 0, 1, 2 étant respectivement les sommets arretes et faces. On en déduit
    $$
    \chi(X) = S - A + F.
    $$
    D'autre part, $X$ est homéomorphe à une sphère $S^2$ pour laquelle on sait calculer directement les $H_i(X)$: $dim H_0(S^2) = 1$ (nb de composantes connexes), $dim H_1(S^2) = 0$ (car simplement connexe) et $dim H_2(S^2) = 1$. On en déduit
    $$
    S - A + F = \chi(X) = \chi(S^2) = 1 - 0 + 1 = 2.
    $$
  • f jaclot
    f jaclot
    Welcome !

    As-tu essaye par recurrence ?

    fjaclot;
  • jojo1
    jojo1
    Quelques preuves :

    <http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/euler/&gt;

    Jojo le mérou
  • ours
    ours
    je croie qu'on peut demontrer cette formule par reccurence

    meme je suis sur
  • f jaclot
    f jaclot
    Ours ,

    Je croiS aussi ! Bien a toi ;

    fjaclot;
  • pol2
    pol2
    Pour Ours : je ne vois pas sur quoi faire porter la réccurence.
    Peut tu préciser ?

    Sinon la lecture de Lakatos m'a marqué. C'est vraiment à lire à mon avis.

    Salutations
  • archimède0
    archimède0
    Il faut évidemment supposer
    que le polyèdre est homéomorphe à la sphère $S^2$
    que ses arêtes sont homéomorphes à $[0,1]$
    que ses faces sont homéomorphes au disque unité fermé de dimension 2.
  • pestos0
    pestos0
    un eptite preuve de ca qui est rigolote. Il vaudrait mieux faire un dessin en meme temps qu'on lit la preuve.
    Imaginez que vous tenez le polyedre au dessus de l'eau et que vous l'immergiez progressivement, en faisant passer dans l'eau le sommets successivement.
    on va calculer le quantite $s+f-a$ pour les sommets, faces et aretes qui touchent deja l'eau et a la fin de l'immersion tout le monde sera dans l'eau donc on aura bien trouve $2$ si tout se passe bien.
    Que se passe-t-il quand on plonge le premier sommet?
    on ajoute un sommet dans l'eau plus autant de faces que d'aretes (ce sont les aretes et les faces qui conteiennent le sommet. donc a ce moment $s+f-a$ (immerges) vaut $1$
    Ensuite pour les sommets suivants il ya deja $k$ faces et $k+1$ areets incidentes qui sont deja dans l'eau (faire un dessin) donc quand on fait passer ce sommet dans l'eau le bilan $s+f-a$ est nul.
    Et ainsi de suite jusqu'au tout dernier sommet, ou , toutes les faces et aretes incidentes sont deja immerges et donc on rajoute $1$ a $s+f-a$.
    Eu final on a bien $s+f-a$=2

    Voila
  • ours
    ours
    la démonstration par récurrence a pour variables sur le nombre de points et la dim
    on peut faire une recurrence a deux variables .
  • ours
    ours
    exemple

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    3117
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