petit exo complexification

Damien4
Damien4
dans Les-mathématiques
Une petite question marrante, dans le genre ça se voit mais pas forcément immédiat à rédiger je pense :

Si $V$ est un e.v réel, $V_\C$ désigne son complexifié, et $V^*$ son dual. La question est de démontrer de façon rigoureuse (en particulier pas de pipo sur la complexification) (ou de contre-exempler) quelque chose comme $(V_\C)^* = (V^*)_\C$. Voilà voilà... S'il faut préciser ou restreindre quelque chose, je vous laisse faire...

A+

Réponses

  • Bruno
    Bruno
    Bonjour Damien.

    Je vois le résultat en diemnsion finie.

    On a une injection $\R$-linéaire canonique $i$ de $V^*$ dans $(V_\C)^*$ puisque toute forme linéaire sur $V$ se prolonge de façon unique en une forme linéaire sur $V_\C$. Une telle application se prolonge en une injection $\C$-linéaire de $(V^*)_\C$ dans $(V_\C)^*$ ; on conclut grâce à un argument de dimension.

    Bruno
  • Le Furet
    Le Furet
    En dimension finie, on a pas deux espaces vectoriels sur C de même dimension donc isomorphes (et pas égaux car a priori ça veut rien dire) ?

    Quelle définition du complexifié as-tu ?
  • Damien4
    Damien4
    Pour Le Furet : $V_\C := V \otimes \C$.
    Pour l'isomorphisme, c'est le caractère canonique qui m'interessait.

    Sinon, pour bruno, j'aime bien. En fait moi j'ai pas trop réflechi et j'étais parti comme ça :

    On montre que $V_\C^*=Hom_\C(V_\C,\C) = Hom_\R(V_\C,\R)$.

    Ce dernier terme est égal par la propriété universelle du produit tensoriel à $Hom_\R(\C,V^*)$.

    Ensuite, je veux donc montrer que ce dernier terme est égal à $V^*_\C = V^*\otimes \C$.

    C'est là que ma démonstration devenait pipo (="ça doit être vrai, flemme"), du coup j'avais arreté. Faut dire aussi que je sortais de mon poly sur les produits tensoriels entre k-algèbres avec plein de $Hom(.,A)$ partout et que j'ai pas cherché à comprendre si c'était des gentils espaces vectoriels ou pas héhé du coup c'est completement stupide. Bref. Ce que j'ai écrit est faux ou juste inutilement lourd ?
  • YB0
    YB0
    On a les isomorphismes canoniqes
    $$
    Hom_\R(V,\R) \otimes \C
    = Hom_\R(V,\C)
    = Hom_\C(V_\C,\C)
    $$
    i.e.
    $$
    V^*\otimes\C = (V_\C)^*.
    $$
    Le premier isomorphisme est donné par l'extension des scalaires:
    $$
    f \otimes (a + ib) \mapsto af + ibf.
    $$
    Le second resulte de la propriété universelle du foncteur $-\otimes \C$ qui est adjoint de l'inclusion des $\C$-ev dans les $\R$-ev.
  • Bruno
    Bruno
    Bizarre YB.

    Je sais que ces notions de catégories ne me sont pas familières, mais :

    je vois une bijection (pas un isomorphisme car l'un est un $\C$-ev et l'autre un $\R$-ev) entre $Hom_\C(V_\C,\C))$ et $Hom_\R(V,\R)$ (je l'ai utilisée) ; mais j'ai du mal à voir une telle relation qui fonctionne entre le premier et $Hom_\R(V,\C)$.

    Bruno
  • YB0
    YB0
    Si $(f,z)\in Hom_\R(V,\R) \times \C$, on obtient un élément de $Hom_\R(V,\C)$ en posant
    $$
    zf : x \mapsto zf(x).
    $$
    C'est bien $\R$-bilinéaire en $f$ et $z$ donc définit un morphisme de $\R$-ev
    $$
    Hom_\R(V,\R) \times \C \to Hom_\R(V,\C).
    $$
    On définit un inverse en décomposant parties réelles et imaginaires
    $$
    f \mapsto Re(f) \otimes 1 + Im(f) \otimes i.
    $$
  • Bruno
    Bruno
    Merci YB.

    Bruno
  • YB0
    YB0
    Je crois que j'ai mal lu ta question. Ce que tu ne comprends pas c'est l'isomorphisme
    $$
    Hom_\R(V,\R) \to Hom_\C(V_\C,\C).
    $$
    C'est la propriété universelle de l'extension des scalaires.

    Si $A$ est un anneau, $B$ une $A$-algèbre. On a une adjonction entre $-\otimes_A B$ et le foncteur qui à un $B$-module associe sa structure de $A$-module sous-jacente. Ceci signifie que pour tout $A$-module $M$ et tout $B$-module $N$, on a un isomorphisme
    $$
    Hom_A(M,N) \simeq Hom_B(M\otimes_A B,N).
    $$
    A $f \in Hom_A(M,N)$, on associe le morphisme défini par
    $$
    g(m\otimes b) = bf(m)
    $$
    et à $g\in Hom_B(M\otimes_A B,N)$, on associe $f$ défini par
    $$
    f(m) = g(m\otimes 1).
    $$

    Tu appliques alors ceci avec $A= \R$, $B=\C$, $M=V$, $N=\C$.
  • Bruno
    Bruno
    Désolé, mais celui-là je le comprends parfaitement, c'est la bijection :
    $$F : Hom_\C(V_\C,\C) \longrightarrow Hom_\R(V,\C)$$
    que je ne vois pas...

    Suis-je bête : c'est la relation fonctionnelle du complexifié !!

    Merci de t'être donné la peine de me répondre.

    Bruno
  • Damien4
    Damien4
    Merci beaucoup,

    C'est très bien expliqué je trouve, l'histoire d'adjonction entre le fait de tensoriser et le fait de considérer la structure sous-jacente. Le problème m'était apparu quand j'avais écrit $Hom_\C(V_\C,\C) = Hom_\R(V_\C,\R)$ et je l'avais balayé :-)

    A+
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