Racine de l'unité

Je formulerais plutôt comme ceci :

Si $z$ est un entier algébrique dont tous les conjugués sont de module $1$, alors $z$ est une racine de l'unité.

Idée. Les coeff des polynômes irréductibles de toute puissance $z^{\alpha}$ de $z$ sont entiers, dont on peut majorer les modules par des bornes ne dépendant que du degré de $z$ sur $\Q$. Ainsi, il n'y a seulement qu'un nombre fini de polynômes irréductibles qui ont $z^{\alpha}$ comme racine, et, par suite, il n'y a qu'un nombre fini de puissances de $z$ distinctes.

Non ?

Borde.

Pour faire simple, si $\theta$ est un entier algébrique, il est racine d'un polynôme irréductible sur $\Q$. Les autres racines de ce polynôme sont les {\it conjugués} de $\theta$.

Borde.

PS Pour les puristes, j'ai bien dit que je "faisais simple", car la définition que je donne ici n'est pas exempte de reproches (encore que...).

Désolé poups mais c'est faux, si $\alpha$ est réel irrationnel $\exp(2\pi i \alpha)$ est de module 1 mais pas une racine de l'unité.

Merci YB.
effectivement... j'aurais pu y penser tout seul !

à plus,
Poup's.

Pour Poups :

Je suppose que tu veux parler de T, union de tous les Tn, ensemble de toutes les racines n-ièmes de l'unité, pour tout n entier (ta définition est bizarre, inutile de regarder l'union des unions des Rp pour p<=n, à moins que tu ne veuilles une union croissante mais ça ne sert à rien).

Non, cet ensemble n'est pas le cercle unité. Il est l'ensemble des z=e^{i*pi*x} pour x rationnel, tandis que le cercle unité est l'ensemble des z=e^{i*pi*x} pour x réel.

C'est un joli exemple de groupe infini dont tous les éléments sont d'ordre fini.

J'ai répondu au n°1 dans le message ci-dessus.

D'une façon générale, dire que $\theta$ est algébrique signifie qu'il est racine d'un polynôme unitaire irréductible sur $\Q$. Ce polynôme s'appelle polynôme minimal de $\theta$ et son degré est le degré de $\theta$. Les autres racines de ce polynôme sont les conjugués de $\theta$.

Maintenant, ce que j'ai formulé plus haut n'était qu'une idée (et j'attendais qu'on la critique...), peut-être illustrée par l'exemple suivant : soit $z = \sqrt {2 - \sqrt 2} + i \sqrt { \sqrt 2 -1}$. On a $|z| = 1$ et on peut obtenir un conjugué en remplaçant $\sqrt 2$ par $- \sqrt 2$, ce qui doit donner $\sqrt {2 + \sqrt 2} \pm \sqrt {\sqrt 2 + 1}$ dont aucun n'a pour module $1$. Qu'en penses-tu ?

Borde.

@ YB : mais non, pas du tout

(bon ok, j'ai triché)

Une idée de démonstration à vérifier.

On considère le corps $F = \Q(q)$ où $q$ est algébrique de module 1. L'ensemble $q^\Z$ est un sous-groupe du cercle $S^1 = U(1)$. Il est donc fini ou dense. Mais s'il est dense, $F$ doit être dense dans $\C$ ce qui est absurde puisque $F$ est de dimension finie sur $\Q$.

Alors? bon ou pas bon?

Salut,

Je suis désolé, je ne pense pas que je vais répondre à la question...

En fait, ta question soulève un doute en moi.
Soit $R_n$ l'ensemble des racines $n$-ième de l'unité.
Soit $T_n$ l'union des $R_p$ pour tout $p\leq n$.

$T_n$ n'est pas le cercle unité ?

Sachant que $R_n$ est de cardinal $n$, il est tentant de dire qu'il est de plus en plus gros et que pour tout $z$ du cercle unité, il existe un $n$ tel que $z \in R_n$...

Cela dit, je n'ai pas essayé de le démontrer...
Si quelqu'un connait la réponse à ma question, je veux bien une petite idée de la démonstration.

à plus,
Poup's.