Différentielle

Ahmad1 · August 2005

Bonjours .

Soit E et F 2 espaces de Banach et U un ouvert de E .
Soit f une application de U vers F , et a un point de U.
on peut alors etudie la différentiabilité de f en a. mais pourquoi U est un ouvert , donner la definition de la différentiabilité de f en a .

Merci , Ahmad'.

GERARD5 · August 2005

U est ouvert car la différentiabilité en un point a est une notion locale, qui nécessite d'avoir un voisinage de a dans U pour travailler. Rien n'interdit par contre d'étendre la définition à une frontière, mais je sens, intuitivement, qu'il va y avoir des difficultés à le faire de façon générale.

Ahmad1 · August 2005

ok Merci GERARD , CVP donne a moi la def generale de la différentiabilité.

GERARD5 · August 2005

Sur un banach, je ne connais pas. Voir par google, ou mathworld (Est-ce bien le nom ?)

geo · August 2005

je tente

soit $f:E\longrightarrow F$ où $E$ et $F$ sont des Banach

on dit que $f$ est différentiable en $a\in E$ si il existe un ouvert $U$ de $a$ et une application linéaire $D\in \mathcal{L}(E,F)$ continue sur $E$ tels que

$\forall h\in U$ $||h-a||\Rightarrow ||f(h+a)-f(a)-D(a)(h)||\leq ||h||$

voila je pense que c'est la bonne

LIAUTARD1 · August 2005

Bonjour

je reprends les notations de Geo avec des modifications:

Il suffit que f soit définie sur un voisinage de a

La condition est ,N(h) pour norme de h

(f(a+h)-f(a)-D(a))/Nh) tends vers 0 lorsque h tends vers 0

Pourquoi faut il que f soit définie sur un voisinage de a?
car en ce cas D est unique

Il existe une boule de rayon r telle que f(a+x) soit définie pour N(x)<r
et D(x)=lim quand t tends vers 0 de

(f(a+t.x)-f(a))/t ,t scalaire

D est donc unique sur une boule donc unique vu la linéarité

cordialement

LIAUTARD1 · August 2005

Bonjour

Je corrige une erreur

lire ((f(a+h)-f(a)-D(a).h)/N(h)

dans la suite remplacer D par D(a)

en m'excusant

Cordialement

GG5 · August 2005

bonjour,
l'exemple des dérivées à gauche (à droite) d'une fonction définie sur un intervalle fermé de R montre que l'on doit pouvoir se contenter d'une exigence moins forte sur l'ensemble de définition A de la fonction. Peut-être même aucune exigence et définir la différentiabilité de f en un point a non isolé de A et dont le filtre des traces des voisinages sur A vérifie certaines conditions ?

curieux0 · August 2005

Pour GG

Tu parles là des dérivées directionnelles. Seulement si une fonction est différentiable en x, alors elle admet des dérivées directionnelles dans toutes les direction, c'est a dire :

pour tout d appartenant a E, df(x,d) exite et on a :

df(x,d)=Df(x).d

Donc pour définir la différentiabilité& d'une fonction, il faut pouvoir approcher le point en question par n'importe quelle direction, donc il faut etre dans un ouvert. A la frontière on ne peut parler que de dérivées directionnelles.

GG5 · August 2005

merci Curieux. Mon idée, c'était une notion encore plus faible : a est adhérent à "dans chaque direction".

GERARD5 · August 2005

J'ai repris mon vieux Dieudonné "Eléments d'analyse". Il ne parle de différentiabilité en a que pour des applications continues en a. Je n'ai pas vu pourquoi il y a une exigence de continuité (dans le cas d'une seule variable, c'est une conséquence de la définition).

LIAUTARD1 · August 2005

Bonjour

Pour Gerard

Si une fonction définie sur un espace normé de dimension finie est différentiable,on montre qu'elle est continue car sa dérivée qui est linéaire l'est

Dans un espace de dimension infinie la linéarité n'implique plus la continuité ,on ne peut plus affirmer que la fonction est continue ,sauf à supposer que la dérivée est continue.

Cordialement

GERARD5 · August 2005

Merci Liautard !
Je vois que le parti pris de Dieudonné était de prendre la fonction continue (vérifiable avant de différencier); puis d'en déduire que la différentielle est continue (C'est la deuxième propriété démontée, après l'unicité).
J'avais aussi pensé que la difficulté est en dimension infinie, car les applications linéaires en dimension finie sont continues.
Cordialement.

GG5 · August 2005

bonjour,
pour préciser ma pensée, étant donnés deux espaces de Banach E et F (par ex. réels), une application f d'une partie quelconque A de E, une condition nécessaire pour que f soit différentiable en un point a de A est que a soit adhérent à A\{a}, (i.e. ne soit pas isolé dans A) et qu'il existe une application linéaire u : E->F telle que

lim pour x->a, x in A\{a} de N( f(x)-f(a)-u(x-a) ) / N(x-a) = 0. (1)

Je dis maintenant qu'une condition suffisante pour que cette application linéaire soit unique est que pour chaque élément k de la base de E, a soit adhérent à K = {a+t.k| t<>0 réel} inter A (ce qui implique d'ailleurs que a n'est pas isolé dans A).

En effet, si v est l'application linéaire différence de deux applications linéaires u et u' vérifiant (1), on a

lim pour h->0, a+h in A\{a} de N(v(h)) / N(h) = 0.

Pour tout k de la base de E, 0 est alors adhérent à T = {t réel | a+t.k in K}, et l'on a

lim pour t->0, t in T de N(v(t.k)) / N(t.k) = 0 (limite d'une composée).

On a donc v(k) = 0, et donc v = 0.

Mais ces raffinements byzantins sont probablement sans intérêt

GERARD5 · September 2005

Donc tu proposes de dériver en zéro la fonction f définie par f(1/n)= ce que tu veux et f(0) = 0 (par exemple) ?
Même remarque : On prend pour A un plan de l'espace et on dérive en tout point de A une application de A dans un Banach ?

Finalement, la condition U est un ouvert assure bien plus que la proximité : la bonne 'dimension'.

Cordialement.

GG5 · September 2005

bonjour,
a) si la limite donnant la différentielle existe, pourquoi pas : f(1/n) = 3/n,
dérivée en 0 = x->3x.
b) on ne peut dériver : un point a du plan n'est pas adhérent à {a+t.k : t<>0 réel} inter A pour tout k.

GERARD5 · September 2005

Ce qui me gène :
a) Dériver une application discrète. Implicitement, dans ton exemple (avec f(1/n) = 3n , plutôt), tu dérives un prolongement continu de f.
b) La condition que tu donnes revient à avoir un voisinage de a dans A. A moins de la réécrire : {a+t.k : t<>0 réel, pour tout k} inter A ce qui redonne A.

GG5 · September 2005

Excuse-moi GERARD, mais je ne suis pas sûr de te comprendre.

a) Soit A = {0} U {1/n | n in N} et
f : A -> R, f(x) = 3x
A n'étant pas dense dans [0,1] (ni dans aucun intervalle), on ne parle pas de prolongement par continuité. Par contre, en 0, l'applic lin x->3x est tangente à f, ne peut-on donc pas parler de dérivée en 0 ?

b) la condition que j'ai donnée pour que l'application linéaire tangente en a soit unique est bien : pour tout élément k de la base de E, a est adhérent à {a+t.k : t<>0 réel} inter A. Elle n'est pas vérifiée pour un point a d'un plan de R^3, elle est vérifiée pour tout point de Q^3 par ex.

GERARD5 · September 2005

Je m'explique :
a) Si tu préfères 'prolongement continu', ça ne me gène pas. L'idée est qu'il y a une fonction simple sur un sur-ensemble continu de A qui prend les mêmes valeurs. Par contre, tu parles d'application tangente. Avec quelle topologie (Si c'est sur R, tu parles du prolongement continu, plus de f) ?
b) Je comprends mieux ta définition; Mais je n'en vois plus l'utilité (l'extension de la dérivée n'a pas trop d'utilité en dehors de frontières de domaines continus de dérivabilité.

Mais on s'est éloignés de la question de base; Désolé Ahmad'

GG5 · September 2005

salut,
a) lim pour x->0, x in A de f(x)/x = 3 est définie (limite pour le filtre des voisinages de 0 inter A, Bourbaki, Top I §7.5).
b)En fait, je me demandais quelle définition générale adopter pour définir la différentielle sur la frontière d'un fermé par exemple (quand elle existe). J'en suis ignorant, mais par quelle définition l'introduit-on pour par exemple :
f : [0,1] x [0,1] -> R, f(x,y) = x+y,
où la différentielle de la restriction de f à l'intérieur du pavé vaut f pour tout point ?

Différentielle

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion