Théorème de Schwarz

{ \scshape Théorème (Schwarz).} Soit une application $f: \mathcal{U} \subset \R^2 \rightarrow \R$, où $\mathcal{U}$ est un ouvert de $\R^2$, telle que $f$ admette des dérivées partielles $\partial^2f / \partial x \partial y$ et $\partial^2f / \partial y \partial x$ sur $\mathcal{U}$, continues en un point $a$ de $\mathcal{U}$. Alors $$\frac{ \partial^2 f}{\partial x \partial y} (a) = \frac{ \partial^2 f}{\partial y \partial x} (a).$$ { \it Démonstration.} Soient $x_0$, $y_0$ les coordonnées de $a$. Soient $h >0$ et $k >0$ tels que $[x_0,x_0+h] \times [y_0,y_0+k] \subset \mathcal{U}$. On pose $$\delta (h,k) = f(x_0+h,y_0+k) - f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0+k)+f(x_0,y_0).$$ Si on pose $\varphi : x \mapsto f(x,y_0+k)-f(x,y_0)$, on a $\delta (h,k) = \varphi (x_0+h)- \varphi (x_0)$, et la fonction $\varphi$ étant dérivable sur $[x_0,x_0+h]$, le théorème des accroissements finis assure l'existence de $\theta_1 \in ]0,1[$ tel que $\delta (h,k) = h \varphi '(x_0+ \theta_1 h)$, ce qui s'écrit encore $$\delta (h,k) = h \left[ \frac{ \partial f}{ \partial x} (x_0 + \theta_1 h, y_0+k ) - \frac{ \partial f}{ \partial x} (x_0 + \theta_1 h, y_0 ) \right].$$ Maintenant, l'application $y \mapsto \partial f / \partial x(x_0+ \theta_1 h,y)$ étant dérivable sur $[y_0, y_0+k]$, une nouvelle application du théorème des accroissements finis donne l'existence de $\theta_2 \in ]0,1[$ tel que $$\delta (h,k) = hk \frac{ \partial^2 f}{ \partial y \partial x} (x_0 + \theta_1 h, y_0+ \theta_2 k). \ \ \ ( \ast )$$ En travaillant à partir de la fonction $\psi : y \mapsto f(x_0+h,y) - f(x_0,y)$, on montrerait de même l'existence de $\theta_3, \theta_4 \in ]0,1[$ tels que $$\delta (h,k) = hk \frac{ \partial^2 f}{ \partial x \partial y} (x_0 + \theta_3 h, y_0+ \theta_4 k). \ \ \ ( \ast \ast )$$ En égalant $( \ast)$ et $( \ast \ast )$ et en faisant tendre $h$ et $k$ vers $0$, on en déduit en vertu de la continuité des dérivées partielles $\partial^2 f / \partial x \partial y$ et $\partial^2 f / \partial y \partial x$ en $a$, l'égalité de ces dernières au point $a$. $\square$

{ \it D'après Les maths en tête - X. GOURDON - Thm 2 p.302 }.

Bonjour,
C'est bien Schwarz sans t.
La même personne que dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
Voir l'excellent livre "Des mathématiciens de A à Z"
A+