Sujet CAPES - Interpolation de Lagrange

OShine
OShine
dans Algèbre
Un sujet de CAPES adapté à mon niveau.
J'ai traité facilement en moins de 5 min le début mais je bloque sur II.3.
Je sais qu'il faut utiliser la question précédente mais je ne vois pas comment.

[Discussion scindée]101768

Réponses

  • topopot
    topopot
    Comme $F$ est linéaire, il suffit de montrer que chaque élément d'une base de $\R^n$ est atteint.

    Pour le passage de surjectif à bijectif, comme on a une application linéaire entre espaces ayant la même dimension finie...
  • OShine
    OShine
    Je ne vois pas à quel théorème vous faites référence.

    J'ai trouvé ce théorème mais je ne vois pas comment l'appliquer ici :

    Soit $(e_i)$ une famille génératrice de $E$ et $u \in \mathcal L(E,F)$. $u$ est surjective si et seulement si $u(e_i)$ engendre $F$.
  • michael
    michael
    Dire que l'application $F$ est surjective signifie que tout élément de l'espace d'arrivée peut être atteint par $F$.
    topopot te dit que, comme $F$ est linéaire, il suffit en fait de vérifier que chaque élément d'une base de l'espace d'arrivée est atteint.

    Au passage, OShine, peux-tu arrêter de poster des questions mathématiques sur le fil ou celui-là, stp ?
    Si tu as une question qui concerne les mathématiques, même si c'est une question sur un sujet de CAPES, tu crées un nouveau fil de discussion comme celui-là. Merci par avance.
  • joquinenc
    joquinenc
    Ou bien, avant de poster, rechercher si une correction existe quelque part, par exemple ici :
    https://gjmaths.pagesperso-orange.fr/contenu/capes2016_011.pdf
  • michael
    michael
    Peut-être qu'il veut juste des indications pour le faire tout seul ;-)
  • OShine
    OShine
    Je ne comprends pas ce passage "comme F est linéaire, il suffit en fait de vérifier que chaque élément d'une base de l'espace d'arrivée est atteint." Je ne trouve pas à quel point de cours cela fait référence.

    $F$ est surjective si $\forall (y_1, \cdots y_n) \in \K^n$ il existe $P \in \R_{n-1} [X]$ tel que $F(P)= (y_1, \cdots y_n)$

    Donc je fixe $(y_1, \cdots y_n) \in \K^n$ et je cherche un polynôme qui convient.

    Je ne vois pas comment la question précédente.
  • michael
    michael
    OShine a écrit:
    Je ne comprends pas ce passage "comme F est linéaire, il suffit en fait de vérifier que chaque élément d'une base de l'espace d'arrivée est atteint."

    Écris ce que ça veut dire (traduction en termes mathématiques, si tu préfères) et démontre-le.
  • Philippe Malot
    Philippe Malot
    Bonjour,
    Dans la question précédente, appelle le polynôme trouvé pour chaque $e_k$ par un nom différent.
    Ne regarde surtout pas la correction !
  • OShine
    OShine
    Justement je ne comprends pas ce que cette phrase veut dire.
  • OShine
    OShine
    Oui j'ai remarqué que regarder les corrections ne me faisait pas progresser donc j'arrête. Je regarde déjà assez les corrections dans mon livre alors les épreuves j'utilise mon cerveau.

    $f(P_1)=e_1$ jusqu'à $f(P_n)=e_n$

    Or si $y \in \K^n$ alors $y= \displaystyle\sum_{i=1}^n y_i e_i =f(P)$

    Là j'ai du mal à poursuivre.
  • Romanesco
    Romanesco
    ei = f(Pi) dans ta dernière ligne, et f est linéaire.
    Tu dois donc pouvoir construire P
  • keijin
    keijin
    Une combinaison linéaire bien choisie de tes $P_i$ répondra à la question.
  • michael
    michael
    OShine a écrit:
    Justement je ne comprends pas ce que cette phrase veut dire.

    Soient $E$ et $F$ deux $\mathbb{K}$ espaces vectoriels.
    Soit $f \in \mathcal{L}(E,F)$.
    Soit $\mathcal{B}=(f_1,...,f_n)$ une base de $F$.
    Montre que : si $\underbrace{\text{pour tout } f_i \text{, il existe } x_i \in E \text{ tel que } f(x_i)=f_i}_{f \text{ est surjective sur une base de }F}$ alors $f$ est surjective.
  • OShine
    OShine
    Merci.

    Ce qui donne par linéarité : $y=\displaystyle\sum_{i=1}^n y_i f(P_i) = f(\displaystyle\sum_{i=1}^n y_i P_i)$

    Donc l'antécédent de $y$ est $\displaystyle\sum_{i=1}^n y_i P_i$ où $P_i=f(e_i)$ donc $f$ est surjective.
  • noobey
    noobey
    Tu peux aussi rédiger ce que tu as fait pour les questions précédentes à quitte conscience?
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