Déterminant d'une composition

Quelle est la définition de déterminant que tu as ?

OK alors il te suffit de montrer que l'application définie par $(b_1,...,b_n)\mapsto \det_e (f(b_1), \cdots ,f(b_n))$ est une forme $n$ linéaire alternée. Ensuite tu appliques la deuxième partie de ton théorème.

la deuxième partie de ton théorème et ta définition te disent qu'il existe une constante $\lambda$ (la constante de proportionnalité quoi) telle que pour tout n-uple $(b_1,...,b_n)$, $\det_e (f(b_1), \cdots ,f(b_n))=\lambda\cdot \det_e(b_1,...,b_n)$.

Ensuite en choisissant les $b_1,...,b_n$ judicieusement tu peux en déduire $\lambda$. Tu termines en appliquant la formule obtenue au n-uple $g(e_1),\cdots ,g(e_n)$.

Essaie de terminer ceci sans aucune autre aide.

Non, ce n'est pas à cette famille de vecteurs qu'on l'applique (regarde ce que tu cherches à montrer).

Edite: effectivement (cf Raoul.S), je dis n'importe quoi, pardon !

"Elles sont non nulles" signifie qu'elles ne sont pas identiquement nulle (et non pas qu'elles ne s'annulent pas).

OShine, pour ta question "c'est quoi l'espace vectoriel des matrices colonnes ?", la réponse est... dans la question.
Et si ce n'est pas suffisant, regarde la définition des applications, tu devrais trouver sans problème l'espace de départ et répondre à ta question. Si ce n'est pas le cas, revois la définition de forme $n$-linéaire.

C’est quoi la « base canonique »?

Bonsoir,

O Shine : dans tous les messages que tu as reçus, te souviens-tu du $\R$-espace vectoriel $\mathcal{M}_{n1}(\R)$ ? Quel est-il ? Saurais-tu deviner à quoi pourrait bien correspondre le $\R$-espace vectoriel $\mathcal{M}_{1n}(\R)$ ?

N'aurais-tu pas vu également, sans peut-être l'avoir compris, que le $\R$-espace vectoriel $\mathcal{M}_{n1}(\R)$ est canoniquement isomorphe au $\R$-espace vectoriel $\R^n$ ?

Allons plus loin... Le $\R$-espace vectoriel $\mathcal{M}_{11}(\R)$, constitué des matrices à une ligne et une colonne (ça existe !), est canoniquement isomorphe au $\R$-espace vectoriel $\R$ ; ce qui permet au mathématicien (mais pas que !) d'identifier la matrice $(a)\in\mathcal{M}_{11}(\R)$ au réel $a$. D'ailleurs, cette identification, loin d'être anodine, permet de comprendre que\[\left(\begin{array}{cccccccc}a_1&a_2&\cdots&a_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\\\end{array}\right)=\sum_{k=1}^n{}a_k\,x_k\]où $\left(\begin{array}{cccccccc}a_1&a_2&\cdots&a_n\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{cccccccc}x_1&x_2&\cdots&x_n\end{array}\right)\in\mathcal{M}_{1n}(\R)$.

Combien de fois devons-nous nous répéter ?

Cordialement,

Thierry

Ça répond déjà à ta question "c'est quoi l'espace vectoriel des matrices colonnes ?".

Pour la question "pourquoi elles sont non nulles ?", je te redonne la même indication qu'ici : dire que des applications sont non-nulles signifie qu'elles ne sont pas identiquement nulles. Ça ne signifie pas qu'elles ne peuvent pas s'annuler.
Autrement dit : il existe au moins un antécédent qui a une image non nulle par l'application.
Si avec ça, tu ne trouves pas, comme Homo Topi, je te renvoie à ce message (que tu as posté), et qui contient toutes les informations nécessaires pour répondre à cette question ainsi qu'à la dernière que tu as posée ("pourquoi elles sont proportionnelles ?").

Bonjour Oshine,
Ne cherches-tu pas à montrer que $\det(A)=\det({}^T\!\!A)$ ? Dans ce cas, quel est le rapport entre une matrice $A$ et les vecteurs colonnes $C_i$ ?

OShine a écrit:

Je veux prendre les vecteurs de la base canonique mais ça revient à ma question : $e_1 , \cdots e_n$ de la base canonique sont des vecteurs ligne ou colonne ?

La réponse revient à ce qu'on t'a déjà dit ici et là. Et tu as d'ailleurs répondu en partie à ta question ici en disant :

OShine a écrit:

L'ensemble de départ des applications est $M_{n1}(\R) ^n$ et l'ensemble d'arrivée $\K$.

Si la tronche des vecteurs de la base canonique de $E=M_{n1}(\R) ^n$ n'est pas claire pour toi, inutile d'aller plus loin, reprends le chapitre sur les matrices... et peut-être même le 1er chapitre d'algèbre linéaire si tu n'as toujours pas compris qu'un vecteur $u$ d'un espace vectoriel $E$ n'est rien d'autre qu'un habitant de $E$.

Pour la seconde c’est un peu la même chose. Si on regarde bien ça reste le déterminant d’une matrice, il suffit donc de choisir les vecteurs C pour former la matrice identité. En revanche tu n’as pas dit qui étaient tes e.

OShine : je te ferai un petit topo sur les vecteurs lignes/colonnes en message privé plus tard, là je suis sur mon téléphone, pour faire du LateX c'est pas top.

Voilà qui est clair et il n'a jamais été facile de justifier l'existence d'une forme alternée non nulle de ce type. Tu n'as aucun souci à te faire à prendre le temps de penser à ça.

Ce sont les gens peu compétents qui vont avoir le réflexe de trouver ça facile. Les forts savent "qu'ils le savent d'avance, mais que c'est difficile", c'est ça toute la différence.

Si, brièvement, mais, ce n'est pas ça le problème. Je vais t'expliquer.

Tu fais une erreur d'interprétation toute bête. Qui est peut-être un peu la faute du livre, aussi.

On te dit de regarder le déterminant de $\begin{pmatrix} ^t C_1 \\ \vdots \\ ^t C_n \end{pmatrix}$. Pour toi, le déterminant, c'est le déterminant d'une famille de vecteurs. On te donne des matrices colonnes, les transposées sont des matrices lignes, donc toi tu penses "vecteur colonne, vecteur ligne". Je t'ai dit que ça n'existe pas. Un vecteur, c'est un vecteur. Un truc colonne ou un truc ligne, c'est la matrice d'un vecteur.

Sauf que dans ton bouquin, là, ils parlent du déterminant d'une matrice, en fait, pas d'une famille de vecteurs. Pour rappel, une matrice, ce n'est pas une famille de vecteurs. C'est une famille de matrices colonnes qu'on a collées ensemble, et ces matrices colonnes correspondent canoniquement à des vecteurs de $\R^n$, certes, mais ce n'est pas pareil. C'est via cette identification canonique qu'on définit le déterminant d'une matrice, mais je ne sais pas si c'est précisé dans ton bouquin.

La transposée d'un vecteur, c'est quoi ? Je ne connais pas, moi. La transposée d'une matrice, si.

Donc quand ils te donnent $C_1,...,C_n$, là. Ils écrivent même que les $C_k$ sont des matrices colonnes, donc les $^t C_k$ sont des matrices lignes. Et du coup, ben, $\det \begin{pmatrix} C_1 & \dots & C_n \end{pmatrix}$, c'est le déterminant d'une matrice dont les colonnes sont les $C_k$. Et de même, $\det \begin{pmatrix} ^t C_1 \\ \vdots \\ ^tC_n \end{pmatrix}$, c'est le déterminant d'une matrice dont les lignes sont les $^t C_k$. Pas d'une famille de "vecteurs lignes", puisque ça n'existe pas.

Donc quand on t'a dit de regarder $\det_e(e)$, et que tu parles de transposées des vecteurs de la base $e$, ça ne marche pas parce que tu parles d'objets qui ne sont pas définis. MAIS on identifie canoniquement un vecteur de $e$ avec une matrice (ligne ou colonne) type $\begin{pmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \end{pmatrix}$ etc.

Donc si $(e_1,...,e_n)$ c'est ta base canonique de $\R^n$, ben, $f(e_1,...,e_n)$, ils veulent te le faire écrire comme le déterminant d'une certaine matrice. Laquelle ? Ben, la matrice dont les colonnes sont les matrices-colonnes des $e_k$ dans la base $(e_1,...,e_n)$. Devine qui c'est, ça... la matrice identité.

L'erreur que tu as faite, c'est d'écrire une matrice avec des "vecteurs lignes" entre parenthèses dedans. Alors que ce que ton livre pense quand il écrit $\det \begin{pmatrix} ^t C_1 \\ \vdots \\ ^t C_n \end{pmatrix}$, c'est "déterminant d'une matrice dont les lignes sont les $^t C_k$. Quand tu as essayé de faire ça avec la base canonique, tu as oublié le passage des vecteurs de ta base canonique à des matrices-lignes de ces vecteurs dans une base (dans la base canonique, pour le coup).

Il n'y a jamais eu de $\det \begin{pmatrix} (1,0,...,0) \\ \vdots \\ (0,...,0,1) \end{pmatrix}$. C'est $\det \begin{pmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \dots & 0 & 1 \end{pmatrix}$ depuis le début.