Distribution bivariée

A priori, tu n'a besoin que de deux paramètres (memes si dans ce cas ils sont multidimensionnels : l'espereance de ta loi M (vecteur avec les deux esperances des lois unidimensionnelles) et la matrice de variance covariance S qui te renseigne sur les variances des deux lois unidim et leur covariance (et donc leur corrélation...)

Avec ces deux éléments, tu peux ecrire la densité de ta loi, qui doit etre du genre

{1/racine(2Pi det(S))}*exp{-1/2*(X-M)*S(-1)*(X-M)'} ou X est un parametre de Rn (ici R2)...

je sais, ça n'est pas clair et pas très complet, mais c'est un premier pas...

Lorsque l'on doit faire appel à des couples de gaussiennes, on introduit leur fonction de répartition $P(X \leq s,Y \leq t)$ qui caractérise entièrement le couple. Autrement dit, dès que l'on connait cette fonction, on sait tout ce qu'il y a à savoir sur le couple de variable aléatoire $(X,Y)$.

Or on montre aisément que cette grandeur ne dépend que de trois réels: $s$ et $t$ évidemment, et surtout $\rho=Corr(X,Y)$. C'est pourquoi on l'écrit souvent sous la forme d'une fonction de trois variables $M(s,t,\rho)$. Cette fonction caractérise donc le couple.

@+

Oui,
la loi multinomiale est une généralisation d'une binomiale, mais je pourrai pas t'en dire plus parcque j'ai toujours essayé de la fuire...

oups, désolé... Des fois le cerveau va plus vite que les yeux...

Une loi multinormale et une loi normale multivariée désigne exactement la même chose.
Une loi normale multivariée est entièrement définie par la donnée de son espérance et de sa matrice de variance-covariance, cette dernière étant composée sur la diagonale des variances de chaque composante et de termes extra-diagonaux représentant les covariances (c'est à dire les corrélations à une facteur multiplicatif près) des composantes les une vis à vis des autres. Cette matrice est diagonale.
Dans le cas particulier bivarié, une loi normale bidimensionnelle est donc définie totalement par la donnée des espérances de chaque composante (2), de la variance de chaque composante (2) et de la corrélation entre les deux (1) ce qui fait 5 paramètres.
Je suis donc désolé de contredire tout le monde, mais sans hypothèse supplémentaire vous ne pourrez absolument pas caractériser une loi binormale avec seulement 3 paramètres.

Okay,

ce qui est sûr, c'est qu'on {\bf ne note pas} une loi normale bivariée $(s,t,\rho)$. Il y a dans cette notation un énorme mélange de notations diverses et variées. Pour être rigoureux, il y a trois manières de noter une loi normale bivariée $(X,Y)$ :

1) la formule condensée $\mathcal{N}(\mu, \Sigma)$ où $\mu=[E(X) E(Y)]'$ est le vecteur ligne de dimension $2$ des espérances et où $\Sigma=\begin{array}{cc} \textrm{Var}(X) & \textrm{Cov}(X,Y)\\ \textrm{Cov}(X,Y) & \textrm{Var}(Y)\\ \end{array}$$ est la matrice de variance-covariance.

2) en donnant la densité du couple $(X,Y)$ :

$$f_{X,Y}(x,y)=\frac{1}{2\pi \textrm{det}(\Sigma} \exp(-\frac{1}{2}([x y] \Sigma^{-1} [x y]'))$$

3) en donnant la fonction de répartition du couple $(X,Y)$ :

$$F_{X,Y}(t,s)=P(X\leq t,Y \leq s)=\int_{-\infty}^t \int_{-\infty}^s f_{X,Y}(x,y) dxdy$$

Je pense que ta faute est de considérer $t$ et $s$ comme des paramètres de la loi normale. Ce sont juste les variables (muettes) intervenant dans la définition de la fonction de répartition. En revanche le coefficient de corrélation est bien un paramètre, mais il t'en manque 4 autres (les deux espérances et les deux variances).

Okay,\\\\
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ce qui est sûr, c'est qu'on {\bf ne note pas} une loi normale bivariée $(s,t,\rho)$. Il y a dans cette notation un énorme mélange de notations diverses et variées. Pour être rigoureux, il y a trois manières de noter une loi normale bivariée $(X,Y)$ \\\
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1) la formule condensée $\mathcal{N}(\mu, \Sigma)$ où $\mu=[E(X) E(Y)]'$ est le vecteur ligne de dimension $2$ des espérances et où $$\Sigma=\left[\begin{array}{cc} \textrm{Var}(X) & \textrm{Cov}(X,Y)\\ \textrm{Cov}(X,Y) & \textrm{Var}(Y)\\ \end{array}\right]$$ est la matrice de variance-covariance.\\\\
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2) en donnant la densité du couple $(X,Y)$ \\\
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$$f_{X,Y}(x,y)=\frac{1}{2\pi \textrm{det}(\Sigma} \exp(-\frac{1}{2}([x y] \Sigma^{-1} [x y]'))$$\\\\
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3) en donnant la fonction de répartition du couple $(X,Y)$ \\\
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$$F_{X,Y}(t,s)=P(X\leq t,Y \leq s)=\int_{-\infty}^t \int_{-\infty}^s f_{X,Y}(x,y) dxdy$$\\\\
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Je pense que ta faute est de considérer $t$ et $s$ comme des paramètres de la loi normale. Ce sont juste les variables (muettes) intervenant dans la définition de la fonction de répartition. En revanche le coefficient de corrélation est bien un paramètre, mais il t'en manque 4 autres (les deux espérances et les deux variances).

Okay,

ce qui est sûr, c'est qu'on {\bf ne note pas} une loi normale bivariée $(s,t,\rho)$. Il y a dans cette notation un énorme mélange de notations diverses et variées. Pour être rigoureux, il y a trois manières de noter une loi normale bivariée $(X,Y)$ :

1) la formule condensée $\mathcal{N}(\mu, \Sigma)$ où $\mu=[E(X) E(Y)]'$ est le vecteur ligne de dimension $2$ des espérances et où $$\Sigma=\left[\begin{array}{cc} \textrm{Var}(X) & \textrm{Cov}(X,Y)\\ \textrm{Cov}(X,Y) & \textrm{Var}(Y)\\ \end{array}\right]$$ est la matrice de variance-covariance.

2) en donnant la densité du couple $(X,Y)$ :
$$f_{X,Y}(x,y)=\frac{1}{2\pi \textrm{det}(\Sigma)} \exp(-\frac{1}{2}([x \ \ y] \Sigma^{-1} [x \ \ y]'))$$
3) en donnant la fonction de répartition du couple $(X,Y)$ :
$$F_{X,Y}(t,s)=P(X\leq t,Y \leq s)=\int_{-\infty}^t \int_{-\infty}^s f_{X,Y}(x,y) dxdy$$
Je pense que ta faute est de considérer $t$ et $s$ comme des paramètres de la loi normale. Ce sont juste les variables (muettes) intervenant dans la définition de la fonction de répartition. En revanche le coefficient de corrélation est bien un paramètre, mais il t'en manque 4 autres (les deux espérances et les deux variances).

Je vais être désolé d'insister (désolé d'être lourd :-)) mais la seule donnée de la corrélation ne suffit absolument pas, à moins qu'on se trouve dans le cas particulier (c'est peut être ça dans ton bouquin) où les deux espérances sont nulles et les deux variances égales à 1. Alors là, oui, celà ne dépend que de la corrélation. Dans tous les autres cas, ça ne peut pas se produire.

Non non pas la peine d'insister !! J'ai bien marqué au dessus que je comprenais parfaitement bien pourquoi le coefficient de corrélation n'était pas suffisant pour caractériser la loi.
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<BR>Tu as répondu entièrement à mes interrogations, ne t'en fais pas, je ne reste pas avec des idées fausses en tête, all is crystal clear !
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<BR>Je confirme que le cas traité par mon bouquin se réduit a des centrées réduites car les variables de Gauss du cas en question sont issues d'un mouvement brownien <I>standard</I>, je savais bien qu'il était fiable mon bouquin !!
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<BR>Décidemment je ne regrette pas d'avoir recemment découvert ce forum où les débats sont toujours très constructifs.<BR>