Polynôme caractéristique

Bonsoir bonsoir !
J'espère que vous allez tous bien :)
Je reviens sur ce forum dans le cadre d'un cours de structures linéaires. Je travaille actuellement sur les polynômes caractéristiques.

Je trouve que le polynôme caractéristique d'une matrice A est : XA(X) = (X-1)(X-3)(X-2)
1- Est-ce que je peux dire que du coup qu'un polynôme annulateur de la matrice est XA(X) = (X-1)(X-3)(X-2) ?
Par ailleurs, j'ai une matrice B telle que B2=A
2- Pourquoi est-ce que je peux dire que le polynôme caractéristique de B est XA(X2) = (X2-1)(X2-3)(X2-2) ?
3- Comment on trouve le polynôme minimal quand on a un polynôme caractéristique ?
Merci d'avance !
(Je pense que la réponse est simple mais j'essaye de vraiment comprendre les choses jusqu'au bout...)

Réponses

  • Salut,

    Je trouve tes notations avec les "XA" assez étranges, mais passons. Tu as normalement un théorème qui te dis que les polynômes caractéristiques sont des polynômes annulateurs (le théorème de Cayley-Hamilton) et par ailleurs que tout polynôme annulateur est multiple du polynôme minimal.
    Il se trouve aussi que toutes les racines du polynôme caractéristique sont des racines du polynôme minimal (c'est donc assez facile à traiter pour un polynôme caractéristique scindé aux racines simples).

    Pour la question 2... Non, pas du tout. Retourne sur les définitions avant de passer au reste (je ne sais pas si tu te rends compte de l'énormité). Par ailleurs, on ne t'aurait pas donné ces exercices sans t'avoir enseigné un certains nombres de propriétés avant (j'en ai résumé certaines).

    Donc : au taf !
  • Pour la question 2 et pour aller dans le sens du message de Titi le curieux : le polynôme caractéristique d'une matrice $n \times n$ est de degré $n$.
  • Bonjour.

    Il y a une assez grosse différence entre le khi grec : $\chi$ et le X latin $X$. Écrire l'un pour l'autre revient à ne pas vouloir être compris.

    Cordialement.
  • Merci pour vos réponses !

    En effet je voulais mettre $\chi$ à la place de X !

    Pour la 2 :

    Est-ce que je peux dire qu'un polynôme annulateur de B est $\chi$A(X2) = (X2-1)(X2-3)(X2-2) ? Et ensuite en le factorisant à nouveau je pourrais dire qu'il est scindé et donc que B est diagonalisable aussi ?

    Merci !
  • Bonjour,

    Que dire du degré du polynôme caractéristique d'une matrice ?

    Cordialement,
  • Bonjour,

    Non, tu ne peux pas. Nous aimerions avoir un énoncé complet plutôt que ton interprétation. Est-ce possible ? Par exemple, est-ce que $A\in\mathcal{M}_3(\R)$ ? Si tel est le cas, et si ton polynôme caractéristique est celui que tu as trouvé, scindé et à racines simples, alors il existe une matrice $D$ diagonale (je te laisse trouver cette matrice) et une matrice inversible $P$ (je te laisse trouver cette matrice) telles que $A=P\,D\,P^{-1}$. Or, ta matrice $B$ est telle que $B^2=A$. Donc, $P^{-1}\,B^2\,P=D$, soit $D=\left(P^{-1}\,B\,P\right)\left(P^{-1}\,B\,P\right)=\left(P^{-1}\,B\,P\right)^2$, ce qui va te permettre de déterminer cette fameuse matrice $B\in\mathcal{M}_3(\R)$, qui ne peut pas avoir un polynôme caractéristique de degré 6.

    Cordialement,

    Titi (un autre !)
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Bonjour,

    une racine $r$ de $\chi_B$ est une valeur propre de $B$, par conséquent il existe $X$ non-nul tel que $BX=rX$.....
    Partant de là, tu devrais trouver les valeurs possibles de $r$...Après connaissant $\chi_B$ et ses hypothétiques racines, tu devrais pouvoir en déduire les formes possibles de $\chi_B$.

    A+

    F.
  • Merci pour vos réponses ! Je pense qu'il y a eu confusion, je parlais du polynôme annulateur de B dans mon dernier message :-)

    Voici l'énoncé.

    Pour la 1) Je trouve le polynôme caractéristique de A est $\chi$A(X) = - (X-1)(X-2)(X-3)

    Pour la 2) Je souhaite dire qu'un polynôme annulateur de A est P(X) = (X-1)(X-2)(X-3)

    On a donc P(A) = 0. Or B2 = A, donc P(B2) = 0, donc que P(X2) est un polynome annulateur de B et ensuite que P(X2) = (X-1)(X+1)(X-$\sqrt{2}$)(X+$\sqrt{2}$)(X-$\sqrt{3}$)(X+$\sqrt{3}$) est scindé et donc B est diagonalisable.

    (Le deg d'un polynôme carctéristique d'une matrice carré de taille n est égal à n ?)101074
  • Marc A a écrit:
    (Le deg d'un polynôme carctéristique d'une matrice carré de taille n est égal à n ?)

    Oui, ça t'a été dit ici.


    Marc A a écrit:
    Pour la 1) Je trouve le polynôme caractéristique de A est $\chi$A(X) = - (X-1)(X-2)(X-3)

    OK, admettons, je n'ai pas refait les calculs.
    Marc A a écrit:
    Pour la 2) Je souhaite dire qu'un polynôme annulateur de A est P(X) = (X-1)(X-2)(X-3)

    On a donc P(A) = 0. Or B2 = 0 donc P(B2) = 0, donc que P(X2) est un polynome annulateur de B et ensuite que P(X2) = (X-1)(X+1)(X-$\sqrt{2}$)(X+$\sqrt{2}$)(X-$\sqrt{3}$)(X+$\sqrt{3}$) est scindé et donc B est diagonalisable.

    Qu'est-ce qui te permet d'écrire $B^2 = 0$ ?
    Quel résultat du cours te permet d'écrire quelque chose comme : "$P \left( B^2 \right) = 0$ donc $P \left( X^2 \right)$ est un polynôme annulateur de $B^2$" ?

    Comme $P$ est un polynôme annulateur de $A$ (c'est le théorème de Cayley-Hamilton, comme indiqué ici), c'est aussi un polynôme annulateur de $B^2$ (puisque $A = B^2$). Mais pourquoi $P(X^2)$ serait un polynôme annulateur de $B^2$ ?
    Essayons avec une matrice $1 \times 1$ pour voir.
    On prend la matrice $A=(4)$. On a donc $B^2 = A$ en prenant $B=(2)$ (par exemple).
    $P(X)=X - 4$ est annulateur de $A$ (et donc de $B^2$), d'où $P \left( B^2 \right) = 0$, mais $P\left(X^2 \right)=X^2 - 4$ n'est pas annulateur de $B^2$.
  • Pour la question b, peut-être que tu devrais commencer par relire le message de Thierry POMA.
  • Pardon j'ai fais une faute de frappe. Je voulais dire comme B2 = A au lieu de B2 = 0

    Si on reprend l'exemple de la matrice 1 * 1 avec A = (4)

    B2 = A et B = (2)

    P(X) = X - 4 et P(X2) = X2 - 4 = (X-2)(X+2) et donc on a bien P(X2) polynôme annulateur de B (et non pas B2) non ?

    Yes j'explore la réponse de Thierry :)
  • OK pour la faute de frappe.
    Et désolé pour ma réponse à côté, j'avais lu $B^2$ (et non $B$) dans ton message. Au temps pour moi.
  • Bonjour,

    Quand on cherche un polynôme annulateur, on espère qu’il soit de degré « petit », et dans l’idéal s’il est scindé à racines simples la matrice est diagonalisable.
    Relis en effet le message de ThierryPOMA, il te précise comment savoir que B est diagonalisable.
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