Une certaine homologie de groupe

Maxtimax · April 2020

Bonjour,

Je n'arrive pas à taper les bons mots-clé sur internet je pense, et donc je ne trouve pas mon bonheur. Je me demande si on peut dire des choses intéressantes de manière relativement élémentaire sur $H_*(GL_n(\mathbb F_p); M_n(\mathbb F_p))$ (action par conjugaison); au moins dans la "zone stable", i.e. quand $n>>*$.

Je sais bien que $H_*(GL_n(\mathbb F_p); \mathbb F_p)$ est notoirement difficile à comprendre; et ma peur est que "stablement", il est contenu dans celui qui m'intéresse, et donc que ma quête est sûrement vouée à l'échec

(je dis qu'il est "stablement" contenu parce que $\mathbb F_p\cdot I_n \subset M_n(\mathbb F_p)$ est un sommande dès lors que $p\nmid n$, donc si on peut dire quelque chose pour $n$ très grand quelconque, ça prend ces $n$ là en compte, et donc on peut sûrement dire quelque chose sur $H_*(GL_n(\mathbb F_p); \mathbb F_p)$)

Mais je sais pas, j'ai un peu d'espoir. Peut-être qu'en fait je me méprends est que la difficulté est justement dans les phénomènes instables ?

aurelpage · May 2020

$\newcommand{\F}{\mathbf{F}}$Salut,

Je n'y connais pas grand chose, mais tu devrais inclure "K-théorie" dans tes recherches. Voici quelques résultats que j'ai pu glaner.

Le théorème 6 de Quillen, On the Cohomology and K-Theory of the General Linear Groups Over a Finite Field, est le suivant :
Soit $k$ le corps fini de cardinal $p^d$ avec $p$ premier. Alors $H^i(GL_n(k),\F_p)=0$ pour $0<i<d(p-1)$ et pour tout $n$.

Dans Calegari, The stable homology of congruence subgroups, on trouve l'affirmation que ce théorème implique $H^n(SL_N(\F_p),\F_p)=0$ pour tout $n>0$ (et $N$ assez grand je pense), d'où tu dois pouvoir tirer quelque chose pour $GL_n$ par inflation-restriction. Mais je ne sais pas comment on prouver cette implication (je ne connais rien en K-théorie).

La proposition 3 de Evens Friedlander, On $K^*(\Z/p^2\Z)$ and Related Homology Groups, contient quelques calculs d'homologie à coefficients dans la représentation adjointe.

Tu peux peut-être pousser un peu plus loin la recherche en traquant les références à ces articles ?

Amicalement,
Aurel

Maxtimax · May 2020

Merci Aurel,

Dans ce que tu dis/ce que tu as vu, il n'y a rien sur des coefficients $M_n(\mathbb F_p)$ ?
(ah je remarque que Evens-Friedlander en fait un peu, mais pour $*=0,1,2,3$, rien au-delà, et ça leur prend déjà du temps....)

aurelpage · May 2020

De rien !

Oui, dans Evens-Friedlander il y a la partie de trace $0$; quand $p\nmid n$ c'est un facteur direct de ton module (et au pire tu peux utiliser la suite exacte qui décompose ton module donc avoir les constantes et le sous-espace de trace $0$ c'est déjà pas mal). Mais c'est clair qu'il ont l'air de se fatiguer beaucoup pour un petit nombre de degrés, ce n'est pas très encourageant. Je n'ai pas cherché très longtemps ceci dit, il y a peut-être des références plus récentes.

Aurel

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