Rang

OShine · April 2020

Bonjour,

Toujours autant de difficultés avec la notion de rang. Je ne sais jamais quelle propriété du cours à utiliser. J'ai beau relire les 100 000 propriétés du cours, je ne vois pas lesquelles utiliser.

1/ Je ne comprends pas le rapport entre le fait que toutes les colonnes soient combinaisons linéaires de $C_0$ et $C_1$ et le fait que la matrice soit de rang au plus $2$.
$C_0$ n'est même pas un vecteur colonne de la matrice :-S

2/ Je ne comprends pas le passage suivant :

Pourquoi si la sous-matrice d'ordre n-r possède une colonne formée que de 0 alors alors les r+1 premières colonnes de la matrice nxn sont combinaisons linéaires des r premiers vecteurs de la base canonique ?
Pourquoi ils forment une famille liée ? 100598

raoul.S · April 2020

@OShine si tu sais que le rang d'une famille de vecteurs est par définition la dimension du sous-espaces vectoriel qu'ils engendrent alors la première affirmation devrait être évidente... non ?

sansurprise · April 2020

@OShine. Bonsoir,
Tout nouveau, je viens de m'inscrire sur ce site, me remettant un peu au math pour le plaisir en cette période de confinement forcée (
Il faut du temps pour s'imprégner de toutes les notions en algèbre linéaire. Pour la notion de rang, il faut déjà essayer de comprendre sur des exemples simples de quoi il en retourne.
Alors, je ne maîtrise pas du tout le latex, désolé. Mais si par exemple je prends la matrice toute bête suivante en dim3
A=(1, 1,1)(2,3,4)(3,4,5) où (1,1,1)=C1 (2,3,4)=C2 (3,4,5)=C3

On s'aperçoit ici que les composantes de C3 sont en fait la somme de C1 et C2 1+1=2, 1+3=4, 1+4=5, C1 et C2 ne sont pas proportionnelles l'une de l'autre (liées) donc par indépendance de C1 et C2, on en déduit que le rang de ma matrice A est 2

Si on avait C1=C2=C3 le rang de A serait égal à 1

J'espère vous avoir aider un peu

Bonne fin de journée

[Utilisateur supprimé] · April 2020

Pour compléter ce qui a déjà été dit:

comme dit @raoul.S, c'est dans la définition du rang. En particulier, si toutes les colonnes sont combinaisons linéaires de deux éléments, l'espace qu'elles engendrent ne peut être au plus que de dimension 2. Et ce même si $C_{0}$ n'est pas une colonne de ta matrice, puisque tu cherches juste une base de $Im(A)$. Tu peux quand même remarquer (même si ce n'est pas utile) que $C_{0}=C_{j+1}-C_{j}$ pour n'importe quelle colonne $j$ de ta matrice.
il y a un lien entre la méthode du pivot de Gauss et l'utilisation des matrices élémentaires que tu manipules dans ton autre post. Si tu y vois clair pour ça, tu comprendras mieux la méthode et ce que signifie la suite de ton corrigé.

OShine · April 2020

Ok merci je pense avoir compris.

OShine · April 2020

Je n'arrive pas à comprendre pourquoi le rang de la matrice suivante est 3.

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & -3 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Je sais que le rang est inférieur ou égal à 3 car il y a une ligne nulle.

Mais je ne vois pas comment montrer que c'est exactement 3.

Homo Topi · April 2020

Regarde si les trois lignes non nulles forment une famille libre, voyons ! On dirait que tu n'as aucune idée de la définition même du rang...

Thierry Poma · April 2020

Bonsoir,

Dans ce cas précis, c'est vraiment avoir oublié ou ne pas avoir compris ce qui se trouve ici, où ta matrice appartient clairement à $\mathcal{T}_4(\R)$, avec $a_{44}=0$. Que conclure ?

D'autre part, en considérant la famille de vecteurs colonnes de $\mathcal{M}_{41}(\R)$, canoniquement isomorphe à $\R^4$, constituée des premier, deuxième et troisième vecteurs colonnes de ta matrice, que penser de cette famille ? Pourquoi ? Ce choix n'est pas unique, bien entendu.

Cordialement,

Thierry

keijin · April 2020

Prends les trois premiers vecteurs colonne de ta matrice et vérifie qu'ils forment une famille libre (en appliquant simplement la définition d'une famille libre).

OShine · April 2020

Thierry la matrice est triangulaire supérieure mais je n'ai pas vu de résultat de cours sur le rang d'une matrice triangulaire supérieure.

Je vérifie que les vecteurs ligne forment une famille libre.
Soit $a (1,1,0,1) + b (0,1,2,4) + c(0,0,-3,-4)=(0,0,0,0)$

Ce qui donne $a=0$, $a+b=0$, $2b-3c=0$, et $a+4b-4c=0$

On trouve $a=b=c=0$

keijin · April 2020

Ça répond donc à ton problème. La famille est libre. La matrice est de rang 3.

OShine · April 2020

Merci !

Rescassol · April 2020

Bonsoir,

De tête sans aucun calcul, la matrice extraite en prenant les trois prmières lignes et les trois premières colonnes est triangulaire sans $0$ sur la diagonale, donc le rang est au moins $3$.

Cordialement,

Rescassol

OShine · April 2020

En effet, bien vu dans le cours j'ai : "si A est une matrice de rang r alors toute sous-matrice de A est de rang au plus r".

[Utilisateur supprimé] · April 2020

@OShine: pourquoi ?

Thierry Poma · April 2020

O Shine : tu exagères. Je te rappelle ce que tu as déjà posté :

Soit $A \in \mathcal T_n(\K)$.
Supposons $a_{ii}=0$. Alors la famille colonnes $(C_1,C_2, \cdots ,C_i)$ est liée car c'est une famille de $i$ vecteurs tous combinaisons linéaires des $i-1$ premiers vecteurs de de la base canonique de $\K^n$. Par suite, la sur-famille $(C_1, \cdots C_n)$ est liée et la matrice $A$ est non inversible.

Appliquée à ta matrice, où tu remarques que $a_{44}=0$, cette propriété de montre clairement que ta matrice a nécessairement un rang inférieur ou égal à $3$.

OShine · April 2020

Soit $A'$ une sous-matrice de $A$. Soit $rg(A)=r$
Pour former $A'$, commençons par former $A_1$ en choisissant les colonnes de $A$ qui figurent dans $A'$.
Par suite, $rg(A_1) \leq r$
Ensuite, pour former $A'$ on extrait les lignes de $A_1$ et en raisonnant sur les lignes $rg(A') \leq rg(A_1)$

Finalement $\boxed{ rg(A') \leq rg(A_1) \leq r}$

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