Inégalité

Bonjour,
Je cherche à montrer l'inégalité suivante, mais j'y arrive pas.
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^n}(1+|x-y|)^{-n-1}dy \leq C (1+|x|)^{-n-1}\ (x\in \mathbb{R}^n).
\end{equation*}
Pouvez-vous m'aider SVP ?
Merci d'avance !!

Réponses

  • Par récurrence sur n?
    edit Je retire
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Effectivement, vous avez raison Side, il manque un terme dans l'intégrale, je viens de corriger l'erreur : $$

    \int_{\mathbb{R}^n}(1+|x-y|)^{-n-1}(1+|y|)^{-n-1}dy \leq C(1+|x|)^{-n-1}.

    $$ Je vous prie de m'excuser pour cet oubli.
  • taib peux-tu nous faire une preuve pour n=1?
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  • L'idée est de découper suivant des couronnes dont la largeur dépend de $\vert x\vert.$

    -Si $\vert x\vert \ll 1,$ alors une majoration crue donne directement : $$I(x):=\int_{\mathbb{R}^{n}}\frac{dy}{(1+\vert x-y\vert)^{n+1}(1+\vert y\vert)^{n+1}}\leq \int_{\mathbb{R}^{n}}\frac{dy}{(1+\vert y\vert)^{n+1}}\lesssim 1.$$

    -Soit $\lambda\in ]1,2[.$ Si $\vert x\vert \gg 1,$ alors en procédant au découpage suivant, il vient :
    \begin{align*}
    I(x) & := I_{1}+I_{2}\\
    & = \int_{ \{y\in \mathbb{R}^{n}: \vert x-y\vert \leq \lambda\vert x\vert\} }\frac{dy}{(1+\vert x-y\vert)^{n+1}(1+\vert y\vert)^{n+1}}+\int_{\{y\in \mathbb{R}^{n}: \vert x-y\vert \geq \lambda\vert x\vert\} }\frac{dy}{(1+\vert x-y\vert)^{n+1}(1+\vert y\vert)^{n+1}}.
    \end{align*}

    On a d'une part en utilisant l'inégalité triangulaire :
    \begin{align*}
    I_{2} & = \sum\limits_{k\geq 1}\int_{\{y\in \mathbb{R}^{n}: \lambda^{k}\vert x\vert \leq \vert x-y\vert \leq \lambda^{k+1}\vert x\vert\} }\frac{dy}{(1+\vert x-y\vert)^{n+1}(1+\vert y\vert)^{n+1}}\\
    & \leq \sum\limits_{k\geq 1}\frac{1}{(1+\lambda^{k}\vert x\vert)^{n+1}}\times \int_{\{y\in \mathbb{R}^{n}: \lambda^{k}\vert x\vert \leq \vert x-y\vert \leq \lambda^{k+1}\vert x\vert\} }\frac{dy}{(1+\vert y\vert)^{n+1} } \\

    & \lesssim \frac{1}{\lambda^{2}\vert x\vert ^{n+2}}\sum\limits_{k\geq 0}\frac{1}{\lambda^{k(n+2)}}\\
    & \lesssim \frac{1}{\lambda^{2}\vert x \vert^{n+2}}.
    \end{align*}

    Et d'autre part, on obtient en utilisant de nouveau l'inégalité triangulaire :
    \begin{align*}
    I_{1} & = \int_{ \{y\in \mathbb{R}^{n}: \frac{\lambda}{2}\vert x\vert \leq \vert x-y\vert \leq \lambda\vert x\vert\} }\frac{dy}{(1+\vert x-y\vert)^{n+1}(1+\vert y\vert)^{n+1}}+\int_{ \{y\in \mathbb{R}^{n}: \vert x-y\vert \leq \frac{\lambda}{2}\vert x\vert\} }\frac{dy}{(1+\vert x-y\vert)^{n+1}(1+\vert y\vert)^{n+1}}\\
    & \lesssim \frac{1}{\lambda^{n+1}\vert x\vert ^{n+1}}\int_{\mathbb{R}^{n}}\frac{dy}{(1+\vert y\vert)^{n+1}}+\int_{\{y\in \mathbb{R}^{n} : \vert y\vert \geq (1-\frac{\lambda}{2})\vert x\vert \}}\frac{dy}{(1+\vert x-y\vert)^{n+1}(1+\vert y\vert)^{n+1}}\\
    & \lesssim \frac{1}{\vert x\vert ^{n+1}}+\frac{1}{\vert x\vert ^{n+1}}\int_{\mathbb{R}^{n}}\frac{dy}{(1+\vert x-y\vert)^{n+1}}\\
    & \lesssim \frac{1}{\vert x\vert^{n+1}}.
    \end{align*}

    En rassemblant les deux majorations de $I_{1}$ et $I_{2},$ il vient effectivement : $I(x)\lesssim \frac{1}{\vert x\vert ^{n+1}}.$
    Ceci achève la preuve de la majoration globale.
  • Merci infiniment pour votre réponse BobbyJoe, mais je cherche à majorer $I(x)$ par $(1+|x|)^{-n-1}$ et non par $|x|^ {-n-1}$.
  • Tu es sans le cas $ |x|\geq 1$ donc $|x|\geq \frac 12 (1+|x|)$
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • @taib : les cas $\vert x\vert \leq 1$ et $\vert x\vert \geq 1$ couvrent tous les cas possibles de ton inégalité (à des constantes dimensionnelles près).
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