Intuition de l'existence de la fonction exp

Bonjour à tous
Petit avertissement préliminaire : je ne suis ni enseignant en math ni même mathématicien, donc pardon si la question est un peu neuneu.

Dans le cadre d'une formation pour scientifiques adultes avec bagage mathématique "moyen", j'ai à produire prochainement une petite note pour introduire la fonction exponentielle et toutes ses propriétés. Plus précisément, je souhaiterais prouver de manière "naturelle" son existence.
J'ai fait un peu de recherche biblio et certaines présentations m'ont semblé élégantes, d'autres moins, mais presque toutes m'ont semblé manquer au moins partiellement des éléments d'intuition qui permettent à chacun d'avoir "the big picture" de la démarche, et de comprendre le pourquoi du cheminement.

La démarche classique (telle qu'elle est théoriquement suivie en TS, me semble-t-il) pour un prof qui introduit la fonction exp "en premier" (i.e., sans se baser sur le logarithme népérien pour cela) semble être :

1. TP sur la méthode d'Euler pour approcher ce que serait une fonction vérifiant $f' = f$ avec $f(0) = 1$.
2. Prouver que les suites $u_n(x) = (1 + x/n)^n$ et $v_n(x) = (1-x/n)^{-n}$ sont adjacentes ; noter $\ell(x)$ la limite commune de ces suites.
3. Montrer que $\ell$ est solution du problème différentiel $y' = y$ avec $y(0) = 1$.
4. Sauter de joie : on a bien montré l'existence d'une solution à ce problème, qué s'appèlerio Quézac exponentielle.

Cette démarche est très chouette et rigoureuse, et elle présente en particulier l'avantage d'être partiellement intuitive : grâce au point 1., on introduit précisément la suite $u_n(x)$ lors de la méthode d'Euler, ce qui fait qu'on ne la tire pas totalement du chapeau pour démontrer l'existence au point 2 (sans quoi ce serait quand même très artificiel pour l'étudiant, et donc impossible à retenir).
Toutefois, la suite $v_n(x)$, quant à elle, me semble effectivement "tirée du chapeau" dans tout ce que j'ai pu lire. Comment arrive-t-elle ici ? Comment justifier l'idée de son introduction en tant que "candidat-suite-adjacente" à $u_n(x)$ ? Y a-t-il une solution simple à ça ?

J'entends bien qu'il existe des tonnes de manières différentes de faire arriver cette suite sur le tapis, mais aucune de celles que j'ai pu trouver n'est "naturelle", au sens où ça semble évident de l'introduire à ce moment-là. Il y a même de beaux moments de bravoure dans la littérature mathématique à ce sujet. Exemple : le professeur Huntington écrivait en 1916 pour justifier l'introduction de $u_n$ et $v_n$ : "Let us begin by supposing that in the process of plotting a variety of different curves, some one hit upon the idea of the following the family of curves representing the simple algebraic functions...". Supposons que quelqu'un sache d'avance quoi faire... Soit. :-D Au lieu de le supposer, comment en donner l'intuition, justement ?

Merci pour vos conseils !

Réponses

  • Il me semble que l'on peut tirer la suite $(v_n(x))$ du schéma d'Euler implicite tandis que $(u_n(x))$ vient du schéma d'Euler explicite.
  • Ooooh, en effet ! (Je viens de vérifier ça rapidos.) Et c'est même une occasion de parler d'Euler implicite, en plus.

    Ben merci bisam, tu rends ma soirée plus joyeuse. :-D

    (Mais je me demande pourquoi je n'ai vu cette précision explicitement mentionnée nulle part.)
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