Idéal engendré par la puissance d'un premier

Bonjour,

dans un exercice, on définit les ensembles suivants :
1 - $Z_p$ l'ensemble des nombres rationnels dont le dénominateur n'est pas divisible par $p$. C'est un sous-anneau de $(\mathbb{Q},+,\times)$.
2 - $J$ l'ensemble des éléments non inversibles de $Z_p$. C'est l'idéal engendré par $p$, soit $J=pZ_p$.
3 - $J_k$ l'idéal engendré par $p^k$, soit $J_k=p^kZ_p$, avec :
a) $J_0=Z_p$
b) $J_1=pZ_p=J$
c) $J_\infty=\{0\}$

Je comprends l'exercice, mais j'ai du mal écrire les différents ensembles. Voici le fruit de mes recherches :

1 - $Z_p=\{\frac{a}{b}\mid (a,b)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{N}^*\,\,, p\not\mid b\}$
2 - $J=\{x\in Z_p\mid x\not\in Z_p^\times\}$

Soit $x\in J$. Je traduis $x\in Z_p$ et $x\not\in Z_p^\times$

D'une part : $x\in Z_p\iff x=\frac{a}{b}\,,p\not\mid b$.
D'autre part : $x\not\in Z_p^\times$.
Mais :
$\begin{aligned}
x\in Z_p^\times&\iff\exists y\in Z_p\,,xy=1\\
&\iff y=\frac{1}{x}\in Z_p\\
&\iff y=\frac{b}{a}\in Z_p\\
&\iff y=\frac{b}{a}\,, p\not\mid a\\
\end{aligned}$
Donc :
$x\not\in Z_p^\times\iff x=\frac{a}{b}\,,p\mid a$

Ainsi $x\in J\iff x=\frac{a}{b}\,et\,p\not\mid b\,,p\mid a$.

Et je montre dans l'exercice que $J=pZ_p$, ok.

D'où $\boxed{J=pZ_p=\{\frac{a}{b}\,;\,p\not\mid b\,,p\mid a\}}$.

3 - Plus compliqué.

Soit $x\in J_k=p^kZ_p$. Je traduis $x\in Z_p$ et $x\not\in p^kZ_p^\times$

D'une part : $x\in Z_p\iff x=\frac{a}{b}\,,p\not\mid b$.
D'autre part : $x\not\in (p^kZ_p)^\times$.
Mais :
$\begin{aligned}
x\in Z_p^\times&\iff\exists y\in p^kZ_p\,,xy=1\\
&\iff y=\frac{1}{x}\in p^kZ_p\\
&\iff y=\frac{b}{a}\in p^kZ_p\\
&\iff y=\frac{b}{a}\,, p^k\not\mid a\\
\end{aligned}$
Donc :
$x\not\in (p^kZ_p)^\times\iff x=\frac{a}{b}\,,p^k\mid a$

Ainsi $x\in J_k\iff x=\frac{a}{b}\,et\,p\not\mid b\,,p^k\mid a$.

D'où $\boxed{J_k=p^kZ_p=\{\frac{a}{b}\,;\,p\not\mid b\,,p^k\mid a\}}$.

Je ne suis pas certain de moi.
Pouvez-vous m'aider ?
D'avance merci !

Réponses

  • Difficile de différencier quelles sont les questions et quelles sont les définitions. Ensuite, je te le répète : tu rédiges mal. Trop de formalisme notamment dans les symboles d'implication qui sont à bannir à ton niveau, et pas de quantification sur les lettres, ce qui se traduit par un manque de précision.

    Tu n'as pas non plus saisi un problème dans ce que tu écris. Si $\frac{a}{b} \in Z_p$, il se peut très bien que $p \mid b$, vois-tu pourquoi ?

    Je ne comprends pas du tout ce que tu fais dans la partie 3) (ça vient sûrement du fait qu'on ne sait pas ce qui est une définition et ce qui est une question). Si $J_k$ est défini comme l'idéal engendré par $p^k$ dans $Z_p$ qu'est-ce que tu cherches à montrer ? Par définition c'est $\{p^kx \mid x \in Z_p\}$, que veux-tu dire d'autre ?
  • Je vais faire un effort dans ce sens, sur la rédaction.

    Voici des précisions.

    Dans l'exercice $p$ est un nombre premier. Et on définit $Z_p$ comme l'ensemble des nombres rationnels dont le dénominateur n'est pas divisible par $p$.

    Ensuite, au début de l'exercice, on introduit $J$ l'ensemble des éléments non inversibles de $Z_p$.

    Et je cherche à comprendre comment sont les éléments de cet ensemble. C'est la première question en fait : si $x$ est un élément de $J$, il s'écrit comment ? Et que peut-on en dire ?
  • Ok, je pense comprendre un peu mieux. Dans ce cas les réponses apportées à 1) et 2) sont satisfaisantes (mais je te fais à nouveau remarquer qu'il existe des éléments de $Z_p$ de la forme $\frac{a}{b}$ avec $p \mid b$, est-ce que tu vois pourquoi ?). Pour la 3), je ne sais pas ce que tu veux prouver. À partir du moment où tu définis $J_k$ comme l'idéal engendré par $p^k$, que veux-tu dire de plus que ça ? C'est immédiat que c'est l'ensemble des $\frac{a}{b}$ avec $p^k \mid a$ et $p \not \mid b$.
  • Bonjour Poirot.

    Par définition, $Z_p$ est l'ensemble des nombres rationnels de dénominateur non divisible par $p$. Dès lors, je ne vois pas comment un rationnel peut être élément de $Z_p$ et avoir un dénominateur divisible par $p$ ?

    Pour l'exercice, j'ai manqué de précision dans mon message initial, je m'en rends compte à présent ! Désolé !
    En voici :

    1) On a introduit $J=\overline{Z_p^\times}$ (je ne sais pas si c'est la bonne notation pour désigner le complémentaire des inversibles de $Z_p$).

    Et donc un élément $x$ de $J$ est dans l'ensemble $Z_p$, sans être dans ses inversibles $Z_p^\times$. En traduisant, j'obtiens que $x$ s'écrit comme une fraction $\frac{a}{b}$ dont le dénominateur n'est pas divisible par $p$ (car $x\in Z_p$) mais dont le numérateur est divisible par $p$ (car $x\not\in Z_p^\times$).

    Ce qui donne $J=\{\frac{a}{b} : p\mid a\,,p\not\mid b\}$ où $(a,b)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{N}^*$.

    2) Je prouve ensuite que si $I$ est un idéal d'un sous-anneau A de l'anneau $(\mathbb{Q},+,\times)$, alors $I=xA$, pour un certain $x\in A$.

    3) J'applique ce résultat dans ce cadre : $J$ est un idéal du sous-anneau $Z_p$ de l'anneau $(\mathbb{Q},+,\times)$, donc $J=xZ_p$, et je montre que $x=p$. Ce qui donne $J=pZ_p$.

    4) On introduit enfin $J_k$ l'idéal engendré par $p^k$. Et de nouveau, je cherche à savoir comment s'écrit un élément de $J_k$.

    Est-ce bon si je dis qu'un élément $x$ est dans $J_k$ lorsque $x\in Z_p$ et $x\not\in p^kZ_p$ ?
  • BMaths a écrit:
    Dès lors, je ne vois pas comment un rationnel peut être élément de $Z_p$ et avoir un dénominateur divisible par $p$ ?

    C'est justement parce que "le" dénominateur d'un rationnel ça n'a pas de sens. La bonne définition de $Z_p$ c'est l'ensemble des rationnels dont le dénominateur de la forme irréductible n'est pas divisible par $p$. Si $\frac{a}{b}$ est de cette forme, alors $\frac{a}{b} \in Z_p$, mais on a aussi $\frac{pa}{pb} = \frac{a}{b} \in Z_p$ et pourtant le dénominateur de $\frac{pa}{pb}$ est divisible par $p$.

    1), 2), 3) ok.

    4) Tu devrais revoir à quoi ressemble l'idéal engendré par un élément $a$ dans un anneau commutatif $A$ quelconque, ta question est assez délirante !
  • Je comprends beaucoup mieux, je n'avais pas pris garde à ce que le dénominateur soit de forme irréductible. Cela n'était pas indiqué dans l'énoncé, mais je vois pourquoi il est nécessaire de le préciser.


    S'agissant de la 4), je m'en rends compte à présent ! En fait, il suffit de dire que $J_k=p^kZ_p$ et que, par définition, un élément $x$ de $J_k$ s'écrit $x=p^ku$ avec $u\in Z_p$.

    Je ne sais ce que je suis allé chercher !

    Dans la dernière question, on demande de montrer qu'il n'existe pas d'autres idéaux que les $J_k$ sachant que :

    - $J_0=p^0Z_p=Z_p$
    - $J_1=p^1Z_p=J$
    - $J_\infty:=\{0\}$

    Je fixe donc $I$ un idéal de $Z_p$ et je veux prouver qu'il s'écrit $I=J_k$, par double inclusion.

    L'indication donnée est de montrer que l'ensemble $\{l\in\mathbb N\mid I\subset J_l\}$ est fini. Je n'arrive pas à l'établir, pouvez-vous m'aider ?
  • Tu peux commencer par supposer $I \neq J_{\infty} = \{0\}$. Si $x \in I$ et $x \neq 0$, montre l'existence d'un entier $k \in \mathbb N$ maximal tel que $x \in J_k$. Pour ça, introduis la fraction irréductible représentant $x$. Tu pourras alors en déduire que l'ensemble $\{l \in \mathbb N \mid I \subset J_l\}$ est fini.
  • Ok !

    Je suppose donc que $I\neq J_\infty$.

    Je considère $x\neq 0$ un élément de l'idéal $I$ de $Z_p$.

    Ainsi, cet élément $x$ est élément de $Z_p$ et, sous sa forme irréductible, peut s'écrire $x=\frac{a}{b}$ avec $p$ ne divisant pas $b$.

    Puisque l'idéal $I$ est l'inclus dans l'idéal $J_{\ell_1}=p^{\ell_1} Z_p$ alors l'élément $x$ s'y trouve.

    Par conséquent, on a une égalité de type $x=\frac{a}{b}=p^{\ell_1}\frac{c}{d}$ avec $p$ ne divisant ni $b$, ni $d$.

    En écrivant $a=p^{\ell_1}\frac{bc}{d}$, j'obtiens que $p^{\ell_1}$ divise $a$.

    Si l'ensemble donné était infini, alors il y aurait une infinité d'ensembles $J_{\ell_1},J_{\ell_2},J_{\ell_3},\cdots$ pour lesquels l'idéal $I$ soit inclus dans chacun d'eux et qui imposerait que $a$ soit divisible par une infinité de nombres $p^{\ell_1},p^{\ell_2},p^{\ell_2}\cdots$ distincts deux à deux.

    Seul 0 possède une infinité de diviseurs, donc $a=0$.

    Contradiction avec le fait que $x$ ait été supposé non nul ?
  • Pourquoi n'as-tu pas suivi mon indication de montrer qu'il existe un plus grand entier $k$ tel que $x \in J_k$ ? D'où sortent ces $l_1, l_2, \dots$ ? Fais les choses par étape, là c'est très mal rédigé.
  • Parce que je n'arrive pas à montrer que l'ensemble $\{k\in\mathbb{N}\mid x\in J_k\}$ est majoré.

    C'est une partie non vide de $\mathbb{N}$ puisqu'il contient $k=0$. En effet, $x\in I\subset Z_p=J_0$.

    Pour montrer qu'il existe dans cet ensemble un élément maximal, il faut montrer qu'il est majoré.

    J'écris $x=\frac{a}{b}$ sous forme irréductible avec $p\not\mid b$ puisque $x\in Z_p$.

    Pour montrer qu'il est majoré, dois-je montrer qu'il existe un rang $k_0$ tek que $x\in J_{k_0}$ et $x\not\in J_{k_0+1}$ ?
  • Tu voulais dire $x \in J_{k_0}$ et $x \not \in J_{k_0+1}$ j'imagine. Regarde juste la décomposition en facteurs premiers de $a$. Si tu connais la notion de valuation $p$-adique et ses propriétés l'exercice se fait beaucoup plus rapidement au passage.
  • C'est rectifié !

    J'avais vu la notion de valuation $p$-adique dans un exercie, sans faire le rapprochement ici.

    Ce que je sais :
    Si $p$ est un nombre premier, et que $n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$, alors l'ensemble $\{k\in\mathbb{N}\;:p^k\mid n\}$ possède un plus grand élément appelé valuation $p$-adique de $n$ noté $v_p(n)$.
    En posant $v_p(-n)=v_p(n)$ si $n<0$ et $v_(0)=\infty$, on peut étendre la définition à tout $\mathbb{Z}$.
    Je connais aussi quelques propriétés.

    Pour l'exercice :
    Si je prends un élément $m\in\{m\in\mathbb{N}\,:\,I\subset J_m\}$, alors tout élément $x\in I$ et aussi élément de $J_m=p^{m}Z_p$, donc $p^{m}\mid x=\frac{a}{b}$ et donc $p^{m}\mid a$. Puis-je en déduire que $m\in\{m\in\mathbb{N}\,:\,p^{m}\mid a\}$ ? Puis que :
    $\{m\in\mathbb{N}\,:\,I\subset J_m\}\subset\{m\in\mathbb{N}\,:\,p^{m}\mid a\}$ ?

    C'est un ensemble inclus dans un ensemble fini, donc lui même fini ?
  • Attention il faut remplacer tes $l$ par des $m$ au vu de la manière dont tu rédiges.
    BMaths a écrit:
    Puis-je en déduire que $m\in\{\ell\in\mathbb{N}\,:\,p^{\ell}\mid a\}$ ?

    Si tu poses cette question c'est que tu as utilisé la lettre $l$ à mauvais escient juste avant, et curieusement pas la lettre $m$.

    Pour ton dernier argument, il faut faire attention au fait que $\{\ell\in\mathbb{N}\,:\,p^{\ell}\mid a\}$ n'est pas forcément fini. Toutes les indications sont dans ce message : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1977260,1984114#msg-1984114 tu n'es plus très loin.
  • Ok !

    Je suppose donc que $I \neq J_{\infty}= \{0\}$

    Soit $x \in I$ tel que $x \neq 0$.

    J'écris $x=\frac{a}{b}$ sous forme irréductible avec $p\not\mid b$ puisque $x\in Z_p$.

    Puisque $x$ n'est pas nul, alors $a$ non plus.

    Considérons l'ensemble $\{m\in\mathbb{N}\,:\,I\subset J_m\}$.

    Si $m$ en est un élément, alors $I\subset J_m$.

    Comme $x\in I$ alors $x\in J_m=p^{m}Z_p$, donc $p^{m}\mid x=\frac{a}{b}$ et donc $p^{m}\mid a$.

    Par conséquent, l'élément $m$ est aussi élément de l'ensemble $\{m\in\mathbb{N}\,:\,p^{m}\mid a\}$.

    On a donc l'inclusion $\{m\in\mathbb{N}\,:\,I\subset J_m\}\subset\{m\in\mathbb{N}\,:\,p^{m}\mid a\}$ où $a\neq 0$.

    L'ensemble $\{m\in\mathbb{N}\,:\,p^{m}\mid a\}$ étant fini ($a$ est non nul), il en va de même de l'ensemble $\{m\in\mathbb{N}\,:\,I\subset J_m\}$.

    Est-ce mieux ?
  • C'est correct. Cependant il y a une petite subtilité, quand tu écris que $p^m$ divise $x$, il faudrait définir ce que tu veux dire par là, tu ne parles plus seulement de division d'entiers ici. Il faudrait justifier comment tu passes de ceci à $p^m \mid a$ (qui lui a bien le sens usuel).
  • Je comprends.

    Dire que $x$ est élément de $p^mZ_p$ signifie qu'il existe un élément $u$ de $Z_p$ tel que $x=p^mu$. C'est dans ce sens là que j'entends être divisible.

    Dès lors, j'obtiens l'égalité $\frac{a}{b}=p^mu$ et, en multipliant par $b$, je trouve $a=p^mbu$ : on a donc bien $p^m\mid a$ (cette fois, division au sens des entiers).

    Est-ce bon ?
  • Non, car $u$ n'est pas un entier !
  • Ah d'accord !

    $x$ est élémént de $Z_p$ donc s'écrit $\frac{a}{b}$ avec un dénominateur irréductible non divisible par $p$.

    $u$ est lui aussi élément de $Z_p$ donc s'écrit comme une fraction $\frac{c}{d}$, dont le dénominateur irréductible n'est pas divisible par $p$.

    L'égalité obtenue est donc $\frac{a}{b}=p^m\frac{c}{d}$, soit $a=p^m\frac{cb}{d}$ avec $p$ ne divisant ni $b$, ni $c$.

    Si je comprends bien, il faut chercher à voir pourquoi $\frac{cb}{d}$ est un entier ?
  • Il n'y a aucune raison que ce soit un entier. Commence par écrire une égalité entre entiers (et pas entre fractions). Ensuite démontre que tu en déduis $p^m \mid a$.
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