Polynôme minimal = caractéristique

Bonjour,
pouvez vous m'aider svp.

Montrer que l’ensemble des matrices dont le polynôme minimal est égal (au signe près)
au polynôme caractéristique est un ouvert de Mn(C). Est-il dense ? connexe ?

Bonne journée.

Réponses

  • Pour la première question on se ramène à un opérateur cyclique. Si (e, u(e), u^2(e),...., u^(n-1)(e)) est libre, le système reste libre en bougeant un peu u ( avec le déterminant et avec un argument de continuité).
    L'ensemble est dense car il contient l'ensemble des matrices possédant n valeurs propres distinctes ( qui est dense).
    L'ensemble est connexe par arcs car on peut relier deux matrices compagnons par un chemin continu à valeurs dans l'ensemble des matrices compagnons. On utilise ensuite la connexité par arcs de GLn(C).
  • Voir la partie VI de ce document : Lien.

    Pour les deux premiers, il s’agit en fait de remarquer que l’ensemble des matrices considérée est le complémentaire de l’ensemble des zéros d’un polynôme à plusieurs variables.

    Une autre solution pour la densité est de se ramener à la densité des matrices diagonalisables dont le polynôme caractéristique est scindé à racines simples.
  • Bonjour,
    on peut remarquer que si les valeurs propres de $M$ sont distinctes, alors le polynôme minimal est égal au polynôme caractéristique, or quitte à changer de base, toutes les matrices sont limites de matrices à valeurs propres distinctes
    Prendre pour $A$ la suite $(A_n)$ avec $A_n=A+\frac{1}{n}D$ $D$ est une matrice diagonale dont les valeurs propres sont distinctes, et quitte à extraire une sous-suite, les valeurs propres de $A_n$ seront distinctes, et la limite de la suite sera $A$, pour toutes les normes.
    Donc c'est un ensemble dense dans $M_n(\mathbb{R})$

    (oups ... je n'ai fait que répéter ce qui a déjà été écrit , désolé).
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