Uniformisante pour extension de corps local

heinz
heinz
dans Algèbre
On considère $L=\Q_p(\sqrt[p^2]{2},\zeta_{p^2})$. Je cherche une uniformisante.
Je sais que l'extension de corps locaux $L/\Q_p$ de degré $p^3(p-1)$ (sous l'hypothèse que $p||(2^p-1)$) est totalement ramifiée et j'ai trouvé deux éléments de valuation $v_L$ respectivement $p(p-1)$ et $p^2$. Leur quotient est donc de valuation $p$. Il me reste un élément dans $L$ à trouver de valuation $p-1$.

Mon idée était de construire un sous-corps $M$ de $L$ avec $[L:M]=p-1$ est de trouver une uniformisante $\pi_M$ pour $M$. Cette uniformisante donnera alors une valuation $v_L$ de $p-1$. Ce sous-corps est donné par $M=\Q_p(\sqrt[p^2]{2},\alpha)$ où $\alpha$ est générateur du sous-corps unique de $\Q_p(\zeta_{p^2})/\Q_p$ qui est de degré $p$ sur $\Q_p$. Est-ce que quelqu'un a des suggestions ?

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Qui dit extension de degré $p-1$ dit $\mathbb Q_p(\zeta_p)/\mathbb Q_p$ non ? L'extension est totalement ramifiée puisque $\Phi_p(X+1)$ est d'Eisenstein.
  • heinz
    heinz
    Je sais, mais je cherche plutôt l'extension intermediaire de degré $p$ au lieu de $p-1$..
  • Poirot
    Poirot
    Oups pardon j'ai lu un peu vite.

    Dans ce cas, on sait que $\mathbb Q_p(\zeta_{p^2})/\mathbb Q_p$ est galoisienne de groupe de Galois $\left(\mathbb Z/p^2\mathbb Z\right)^{\times} \simeq \mathbb Z/p\mathbb Z \times \mathbb Z/(p-1)\mathbb Z$ via $(a,b) \mapsto (1+p)^ag^b$ où $g$ est un générateur de $\left(\mathbb Z/p\mathbb Z\right)^{\times}$. Le sous-groupe d'indice $p$ est donc engendré par $1+p$, et donc l'extension intermédiaire de degré $p$ est le sous-corps de $\mathbb Q_p(\zeta_{p^2})$ fixé par $\zeta_{p^2} \mapsto \zeta_{p^2}^{1+p} = \zeta_{p^2} \times \zeta_p$.
  • heinz
    heinz
    Je n'ai jamais vu cet isomorphisme avant, comment on procède pour le démontrer?

    Vous voulez dire que le sous-groupe d'ordre $p$ est engendré par $1+p$ je suppose?

    D'ailleurs, si on prend $p=5$, le sous-groupe de $(\mathbf{Z}/25\mathbf{Z})^\times$ d'ordre 4 est $\{\pm 1,\pm 7 \}$, et ce groupe n'est pas engendré par un générateur de $(\mathbf{Z}/5\mathbf{Z})^\times$ qui est par exemple 2.

    Je pense avoir mal compris quelque chose..
  • heinz
    heinz
    Le sous-groupe d'ordre $p$ de $(\mathbf{Z}/p^2\mathbf{Z})^\times$ est engendré par l'élément $1+p$.

    Est-il possible également de trouver un générateur pour le sous-groupe $H$ d'ordre $p-1$ de $(\mathbf{Z}/p^2\mathbf{Z})^\times$ ?

    Ce sous-groupe n'est pas nécessairement cyclique je pense.. Je cherche à évaluer la somme $\sum_{a\in H}\zeta_{p^2}$.
  • Poirot
    Poirot
    Je me suis mal exprimé, si $g$ est un générateur de $\left(\mathbb Z/p \mathbb Z\right)^{\times}$ on peut le remonter en un élément $g'$ d'ordre $p-1$ dans $\left(\mathbb Z/p^2 \mathbb Z\right)^{\times}$. Et il est clair que $1+p$ est d'ordre $p$, de sorte que $g'(1+p)$ est d'ordre $p(p-1)$ puisque $g'$ et $1+p$ commutent et sont d'ordres premiers entre eux.

    De la même manière on peut donner la structure de $\left(\mathbb Z/p^n \mathbb Z\right)^{\times}$ pour tout $n \geq 2$ (attention il y a une blague quand $p=2$).
  • heinz
    heinz
    Je considère la surjection $\varphi:(\mathbf{Z}/p^2\mathbf{Z})^\times \to (\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^\times$. On prend un générateur $g$ de $(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^\times$, on choisit un antécédent $x$, alors l'ordre de $g$ = $p-1$ divise l'ordre de $x$ qui divise $p(p-1)$. Alors soit $x$ est d'ordre $p-1$, auquel cas on est content et $g'=x$. Soit $x$ est d'ordre $p(p-1)$, auquel cas on prend $x^p=g'$. Est-ce correct?


    Alors, je cherchais à démontrer (quant à la vraie question) que $\sum_{a\in H} \zeta_{p^2}^a$ où $H$ est le sous-groupe d'ordre $p-1$ est un générateur du sous-corps d'ordre $p$. (Je cherchais un élément qui engendre le sous-corps et je pense que cette somme est un bon candidat. Malgré que $\sum_{a\in K} \zeta_{p^2}^a=0$ quand on prend $K$ le sous-groupe d'ordre $p$..)


    Pour cela, il suffit que la somme ne soit pas dans $\mathbf{Q}_p$. Est-ce que vous voyez une manière pour démonter cela? On ne peut pas utiliser $g'$ pour expliciter $H$ car il n'est pas canonique..
  • aurelpage
    aurelpage
    Salut,

    Pour ce qui est de ta question initiale : qu'est-ce qui te fait penser qu'il y a une expression simple pour une uniformisante de ce corps ? S'il y en a une, elle est peut-être cachée dans ta preuve que $L/\Q_p$ est bien de degré $p^3(p-1)$.

    Pour ce qui est de ta dernière question : c'est peut-être vrai mais ça ne parait pas évident que cette expression est bien un générateur. Par contre, si tout ce que tu voulais était construire un générateur du corps de degré $p$, il suffit de prendre la norme d'une uniformisante de $\Q_p(\zeta_{p^2})$ (par totale ramification).

    Amicalement,
    Aurel
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