Fonction lipschitzienne

Bonsoir
Après de nombreux essais, je ne vois toujours pas comment réussir à montrer la question 1).

Je suppose que nous devons montrer cela avec la norme 2 cependant j'ai essayé avec la norme 1, la norme 2 et la norme infini mais rien n'y fait.

Si vous avez des pistes je suis preneur car j'ai l'impression de tourner en rond !
Merci.99590

Réponses

  • Bonjour,

    j'essaie de trouver |(Z-f(X,Z)) - (Z'- f(X,Z'))| < 1/2 |Z-Z'|, on peut peut-être aboutir.
    quand on calcule |(Z-f(X,Z)) - (Z'-f(X,Z'))|, les 10z-yexp(x2) et 10t-tanh(xy) disparaissent. Après 1+x2+exp(y2) =< 2
    après |tanh(z-t) -tanh(z'-t')|= |t.tanh(z-t)/t - t'.tanh(z'-t')|/t'| et |arctan(z+t) -arctan(z'+t')|= |z.arctan(z+t)/z -z'arctan(z'+t')/z'|
    après on utilise |a-b| =< |a|+|b| et on majore tanh(z-t)/t ...arctan(z+t)/z je n'ai pas été jusqu'au bout,
  • Bonsoir
    Ma première idée a aussi été de partir sur cette méthode de résolution en premier.
    Je ne comprends pas pourquoi vous dites que 1+x^2+exp(y^2) serait inférieur ou égal à 2 ?

    Edit : je suppose que vous vouliez dire supérieur ou égal et non inférieur ou égal.
  • Bonjour,
    Les fonctions $\tanh$ et $\arctan$ sont 1-lipschitziennes sur $\R$.
  • Bonjour Philippe Malot
    Merci pour l'information !
    Je vais essayer de remajorer tout ça.

    Le problème est également de ne pas savoir avec quelle norme démontrer la question.
    Je doute que ce soit la norme infini mais je ne vois pas laquelle serait plus adéquate pour parvenir à ce qui m'est demandé.

    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • Il me semble que le calcul se termine bien en prenant la norme 1 !
  • D'accord

    Je vais réessayer avec vos informations.

    Merci
  • Re bonjour
    Je continue en essayant d'utiliser votre proposition et voilà où j'en suis.
    Je ne vois toujours pas comment nous pouvons conclure.99616
  • Tu peux remarquer que les facteurs constants en $(x,y)$ sont majorés par $1$.
    Il faut aussi écrire que $\displaystyle\left\Vert\binom xy\right\Vert=\left|x\right|+\left|y\right|$ à un moment donné ! :-)
  • Merci,

    J'ai réussi à démontrer ce que je voulais.

    Bonne journée à vous
  • En lien avec ce que vous avez dit plus haut, j'aurais aimé savoir comment nous montrons que les fonctions arctan et tanh sont 1-lipschitzienne ?
  • Pour arctan on peut partir de $|\arctan(x)-\arctan(y)|=|\int_{x}^{y}\frac{1}{1+t^2}dt| $ et majorer ...
  • Bonjour,

    @a.maths: "je suppose que vous vouliez dire supérieur ou égal et non inférieur ou égal.", oui
  • On peut faire comme etanche ou, ce qui revient au même, invoquer l'inégalité des accroissements finis et la bornitude sur $\mathbb R$ des dérivées de ces fonctions.
  • Merci pour vos réponses
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