Suite

Notons $P(k)$ de la suite qui à $n$ associe $P(k)_n=n^k$ avec $k \in \mathbb{N}$ on note $f$ l'application qui à une suite $u$ associe la suite $f(u)$ telle que $f(u)_n=u_{n+1}-u_{n}$ je cherche à montrer que $f^k(P(k))_n=k!$.
J'ai cherché et je n'ai pas d'idée sauf peut être une récurrence en utilisant le binôme de Newton mais je n'y arrive pas. Je m'excuse si je ne suis pas dans la bonne partie du forum.

Merci pour toute forme de réponses.
Cordialement.

Réponses

  • Bonjour,

    Quésaco $f^k$ ?
  • Désolé et merci pour votre réponse je voulais dire $f\circ...\circ f$ k fois j'ai cru qu'on pouvait écrire $f^k$ encore pardon.
    Cordialement
  • Bonjour,

    Pose $D_n=u_{n+1}-u_n.$
    Calcule $f^{(k)}(u)_n$ selon $D$ pour $k=1,2,3,4.$
    Tu reconnais les coefficients binomiaux ? Par exemple $f^{(4)}(u)_n=D_{n+4}-3D_{n+3}+3D_{n+2}-D_{n+1}.$
    Puis par changement d’indice dans la somme tu trouves $f^{(k)}(u)_n$ selon $u.$
  • Merci pour votre réponse je vais essayer ainsi passez une bonne soirée.
    Cordialement
  • Plus généralement, si $P(k)_n$ est un polynôme en $n$ de degré $k$, de coefficient dominant égal à $a$, alors $f(P(k))_n$ est un polynôme en $n$ de degré $k-1$, de coefficient dominant égal à $ka$.

    Cela fournit le résultat demandé.
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