Intersection infinie d'ouverts

Tamasushi
Tamasushi
dans Topologie
J'ai trouvé ceci

$\bigcap_{k=1}^\infty ]-1/k,1/k[ = \{0\}$
Avec comme justification:
si $x \in \bigcap_{k=1}^\infty ]-1/k,1/k[ $
alors pour $n \in \N^*$
$-1/n< x < 1/n$
Par passage à la limite, $x=0$

Mais encore faut-il que ce $x$ existe.

Instinctivement j'aurais plutôt cru que cet ensemble était réduit à $\varnothing$

Réponses

  • Champ-Pot-Lion
    Champ-Pot-Lion
    Et si tu prends $x=0$, est-ce qu'il vérifie bien que pour tout $n \in \N$, on a $-1/n < x < 1/n$ ?
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour

    Ne dois tu pas trouver un ensemble plutôt qu’un réel ?
  • Tamasushi
    Tamasushi
    Le problème c'est que dans la démonstration on prend un $x$ dans l'ensemble sans s'être assuré que ce même ensemble contenait quelque chose. Si cette intersection vaut $\varnothing$, prendre un $x$ dans l'ensemble n'a pas de sens.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Peu importe, $x\in \emptyset \implies P$ est vraie quelle que soit $P$.

    Ici, tu montres que si $x$ est dans l'inclusion, alors $x=0$. Pour montrer que l'intersection est non vide, il faut quand même vérifier que $0$ est dedans, mais ça c'est facile. Tu auras conclu que l'intersection est incluse dans $\{0\}$, et réciproquement.
  • gerard0
    gerard0
    Heu ... le fait que 0 est un élément de chaque intervalle est assez trivial, non ? (On ne fait pas cette démonstration sans avoir réfléchi à ce qu'elle va donner).
    La démonstration demande évidemment à être complétée par la remarque que 0 est bien dans l'intersection (une conclusion d'une preuve commençant par une supposition ne prouve rien si la supposition est fausse), à moins que la remarque ait été faite avant..

    Cordialement.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Analyse : pour tout $x\in \bigcap_{k=1}^{\infty} \left]-1/k,1/k\right[$, $x=0$.
    Synthèse : $0\in \bigcap_{k=1}^{\infty} \left]-1/k,1/k\right[$.
    Hein, Gérard ? ;-)
  • christophe c
    christophe c
    Soit $x$ le visage d'Emmanuel Macron à 102ans te semble une hypothèse interdite?

    Soit $x$ un nombre entier pair, plus grand que 4 qui ne soit pas somme de deux nombres premiers non plus?

    Pour aller plus loin, mais âme sensible s'abstenir, tu t'apercevras peut-être un jour que l'ensemble vide, n'a rien de vide, il est juste inclus dans tous les autres. Opératoirement, ça revient au même, mais ça t'aidera peut-être à distinguer le formel de la philosophie.



    Tamasushi écrivait:
    > Le problème c'est que dans la démonstration on
    > prend un $x$ dans l'ensemble sans s'être assuré
    > que ce même ensemble contenait quelque chose. Si
    > cette intersection vaut $\varnothing$, prendre un
    > $x$ dans l'ensemble n'a pas de sens.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Foys
    Foys
    Si on s'imagine les ensembles comme les points d'un gigantesque graphe reliés ou non par des flèches, l'ensemble vide ne pose plus de problèmes "ontologiques".
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • gerard0
    gerard0
    Non, GBZM :

    analyse : 0 est dans l'intersection.

    ;-)
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Gérard, il faudra réviser le "raisonnement par analyse et synthèse".
  • Dom
    Dom
    Est-ce que j’ai bon ?

    Analyse : je suppose « la question résolue » et j’en déduis des conditions nécessaires.

    Synthèse : je regarde si mes conditions nécessaires trouvées sont suffisantes.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Autre exemple :
    Analyse : pour toute décomposition d'une fonction $f:\mathbb R\to \mathbb R$ en somme d'une fonction paire $p$ et d'une fonction impaire $i$, on a $p= \left(x\mapsto \frac12(f(x)+f(-x))\right)$ et $i= \left(x\mapsto \frac12(f(x)-f(-x))\right)$.
    Synthèse : les fonctions $p$ et $i$ définies ci-dessus sont respectivement paire et impaire, et leur somme est $f$.

    À noter qu'on ne se préoccupe pas pour faire l'analyse de savoir si l'ensemble des décompositions demandées est vide ou non.
  • gerard0
    gerard0
    C'est normal !

    Je ne me suis jamais demandé si {1,2} est vide. Pour cause !
    Dans cet exercice, Maxtimax dit comme moi (j'ai répondu sans voir son message), j'ai seulement rajouté le fait que c'est normalement évident.

    GaBuZoMeu : Que reproches-tu à ce message ?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Je ne reproche absolument rien au message de maxtimax (si en fait, je lui reproche un lapsus : inclusion au lieu de intersection) : il illustre bien la démarche analyse-synthèse.
    Analyse :
    Ici, tu montres que si x est dans l'inclusion, alors $x=0$.
    Synthèse :
    Pour montrer que l'intersection est non vide, il faut quand même vérifier que 0 est dedans, mais ça c'est facile

    Gérard, je sais que tu sais ce qu'est un raisonnement par analyse et synthèse. Ce que je ne comprends pas, c'est pourquoi tu t'entêtes à faire semblant de ne pas savoir.

    PS. Quand j'écris
    À noter qu'on ne se préoccupe pas pour faire l'analyse de savoir si l'ensemble des décompositions demandées est vide ou non.
    c'est bien évidemment en référence au premier message de ce fil. As-tu oublié la question posée ?
  • gerard0
    gerard0
    Désolé GBZM,

    mais tu fais parfois tellement le puriste que je ne peux m'empêcher de provoquer.
    Bien sûr, je sais ce qu'est un raisonnement par analyse/synthèse. J'ai appris ça vers 1965. Et vu des descriptions différentes, des pratiques diverses, depuis. D'où ce message, provocateur !

    Cordialement.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    D'accord, alors je vais vraiment faire le puriste. (:D
    (une conclusion d'une preuve commençant par une supposition ne prouve rien si la supposition est fausse)
    C'est une contre-vérité. La démonstration prouve que l'hypothèse entraîne la conclusion. Que l'hypothèse soit vraie ou non.
  • christophe c
    christophe c
    @foys: oui, huuum, enfin tu fais appel aux yeux quand-même. Ca ne change rien, tu évoques juste le fait que nous avons des sens percevant "des absences" (et encore ça se discute, car quand je demande aux élèves de quelle couleur ils verraient l'univers (supposé vide et infinie) s'il était éclairée, ils ont du mal à répondre "noir". De même les gens ont du mal à concevoir qu'à certaines heures sur la Lune, ça bronze au delà de tout, mais que le ciel est noir et le soleil blanc.

    @dom: je ne me rappelle jamais l'expression pédagogique, bien que je l'ai connue sur le forum, mais à ce que tu dis, je "ressens" que oui c'est ça. Cela dit, comme toujours avec la pédagogie, comme couramment, il y a une sorte de quasi-égalité entre $A\to B$ et $\neg B \to \neg A$, je t'avoue que je ne ferai jamais beaucoup d'effort pour défendre "l'analyse c'est ci, la synthèse c'est ça".

    Ici présent comme, une fois retiré le quantificateur $\forall $, l'énoncé est :$$

    x\in A\iff x=0,

    $$ mais pourrait tout autant être $$

    x=0\iff x\in A.

    $$ Je suis bien incapable de penser quelque chose de la controverse présoixante-huitarde (si j'ai compris) entre GBZM et Gérard, et en plus je suis né en 1966 :-D

    Disons juste qu'il parait moins naturel de proser : "une condition nécessaire pour que $x = 0$ est que $x\in A$"

    et bien plus de proser: "une condition nécessaire pour que $x \in A 0$ est que $x = 0 $"
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Merci AD pour ta profonde connaissance des doubles dollars, je vais tenter de m'inspirer la prochaine fois. En mettre 2 à la fin d'une ligne, écrire, puis en mettre 2 autres à la troisième ligne, ça a l'air efficace.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Foys
    Foys
    christophe c a écrit:
    @foys: oui, huuum, enfin tu fais appel aux yeux quand-même. Ca ne change rien, tu évoques juste le fait que nous avons des sens percevant "des absences" (et encore ça se discute, car quand je demande aux élèves de quelle couleur ils verraient l'univers (supposé vide et infinie) s'il était éclairée, ils ont du mal à répondre "noir". De même les gens ont du mal à concevoir qu'à certaines heures sur la Lune, ça bronze au delà de tout, mais que le ciel est noir et le soleil blanc.
    C'est si élaboré que ça comme analogie? Depuis l'explosion de l'informatique, le concept de graphe ne devrait plus être tabou (ça n'implique pas un contenu visuel, on a juste des "pointeurs" entre "objets").

    L'analyse-synthèse c'est juste ce qui arrive quand le cahier des charges du problème entraîne assez manifestement la petitesse de l'espace où le chercheur cherche une solution potentielle. Ce n'est pas une vraie règle d'inférence mathématique (il est dangereux de mettre sur le même plan les éléments constitutifs authentiques d'une preuve formelle et les commentaires en prose que le mathématicien se fait à lui-même pour aider son intuition et celle de ses lecteurs).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • christophe c
    christophe c
    @foys: ce que je voulais dire c'est que un sommet sans voisin a un ensemble de voisins qui n'est pas plus vide que l'ensemble vide. Tu as juste changé les mots, les tiens renvoyant à l'imaginaire lié aux sens.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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