Calcul des groupes de ramification
Je souhaite calculer les groupes de ramification de l'extension $\Bbb Q_p(\zeta_{p^n})/\Bbb Q_p$.
L'extension est totalement ramifiée d'uniformisant $1-\zeta_{p^n}$.
Le $i$-ième groupe de ramification est donné par
\begin{align*}
G_i &=\{\sigma\in G\mid v_L\Big(\sigma(1-\zeta_{p^n})-(1-\zeta_{p^n})\Big)\geq i+1 \} \\
&\cong\{k\in (\Bbb Z/p^n\Bbb Z)^\times \mid v_L(\zeta_{p^n}^{k-1}-1)\geq i+1\},
\end{align*} Je calcule cette valuation en utilisant la formule $v_L(-)=\frac{1}{f_{L/K}} v_p(N_{L/\Bbb Q_p}(-))$.
Si $p\nmid k-1$, alors $v_L(\zeta_{p^n}^{k-1}-1)=v_p(p)=1$.
Si on écrit $k-1=p^{a}b$ with $p\nmid b$ et $K=\Q_p(\zeta_{p^{n-a}})$. Par la transitivité de la norme,
\begin{align*}
v_L(\zeta_{p^n}^{k-1}-1)&=v_p\left(N_{L/\Q_p}(\zeta_{p^n}^{k-1}-1)\right)\\
&=v_p\Big(N_{K/\Q_p}\circ N_{L/K}(\underbrace{\zeta_{p^{n-a}}^b-1}_{\in K})\Big)\\
&=[L:K]\cdot v_p\left(N_{K/\Q_p}(\zeta_{p^{n-a}}^b-1)\right)\\
&=[L:K]=p^a=p^{v_p(k-1)}.
\end{align*} Or, ceci n'est pas correct.. La réponse devrait être $v_p(k-1)$.. Est-ce que quelqu'un voit l'erreur ? Je ne la vois pas ...
L'extension est totalement ramifiée d'uniformisant $1-\zeta_{p^n}$.
Le $i$-ième groupe de ramification est donné par
\begin{align*}
G_i &=\{\sigma\in G\mid v_L\Big(\sigma(1-\zeta_{p^n})-(1-\zeta_{p^n})\Big)\geq i+1 \} \\
&\cong\{k\in (\Bbb Z/p^n\Bbb Z)^\times \mid v_L(\zeta_{p^n}^{k-1}-1)\geq i+1\},
\end{align*} Je calcule cette valuation en utilisant la formule $v_L(-)=\frac{1}{f_{L/K}} v_p(N_{L/\Bbb Q_p}(-))$.
Si $p\nmid k-1$, alors $v_L(\zeta_{p^n}^{k-1}-1)=v_p(p)=1$.
Si on écrit $k-1=p^{a}b$ with $p\nmid b$ et $K=\Q_p(\zeta_{p^{n-a}})$. Par la transitivité de la norme,
\begin{align*}
v_L(\zeta_{p^n}^{k-1}-1)&=v_p\left(N_{L/\Q_p}(\zeta_{p^n}^{k-1}-1)\right)\\
&=v_p\Big(N_{K/\Q_p}\circ N_{L/K}(\underbrace{\zeta_{p^{n-a}}^b-1}_{\in K})\Big)\\
&=[L:K]\cdot v_p\left(N_{K/\Q_p}(\zeta_{p^{n-a}}^b-1)\right)\\
&=[L:K]=p^a=p^{v_p(k-1)}.
\end{align*} Or, ceci n'est pas correct.. La réponse devrait être $v_p(k-1)$.. Est-ce que quelqu'un voit l'erreur ? Je ne la vois pas ...
Réponses
-
Je suis d'accord avec tout ce que tu as écrit. En plus ça colle avec le cas $p\nmid k-1$, ce qui est cohérent. D'où tiens-tu que ça devrait faire $v_p(k-1)$ ?
-
La réponse est
$$G_i=\{k \in (\Z/p^n\Z)^\times \mid k\equiv 1\bmod{p^i} \}=\{k\in (\Z/p^n\Z)^\times \mid v_p(k-1)\geq i \}...$$ -
Salut
Ton calcul est correct, c'est la réponse que tu anticipais qui ne l'est pas. Le problème vient de la différence entre numérotations "inférieure" et "supérieure" des groupes de ramification. On a $$
G^i=\{k \in (\Z/p^n\Z)^\times \mid k\equiv 1\bmod{p^i} \}=\{k\in (\Z/p^n\Z)^\times \mid v_p(k-1)\geq i \}.
$$ Amicalement,
Aurel -
Je suis au courant de la différence entre la numérotation inférieure et supérieure, mais même dans Serre - Corps Locaux on note comme cela.
Comment $\{ k\in (\Z/p^n\Z)^\times \mid p^{v_p(k-1)}\geq i+1 \}$ est la même chose que $\{ k\in (\Z/p^n\Z)^\times \mid k\equiv 1\bmod{p^{i+1}} \}$? -
En haut, Serre - Corps Locaux, en bas le livre que j'utilise.. Cela ne semble pas du tout la même chose J'ai du mal avec ce calcul
-
Je ne suis pas sûr que tu aies bien compris ma remarque : les groupes de ramification $G_i$ et $G^i$ existent tous les deux, mais ce ne sont pas les mêmes ! Dans sa Proposition 18, Serre donne les groupes $G_i$, et ce sont les mêmes que tu as calculés; par ailleurs, il utilise une notation pour ses sous-groupes de $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ avec des exposants, qui correspondent aux groupes de ramifications supérieure, même s'il ne le dit pas à cet endroit (il ne les a peut-être pas encore introduits, je n'ai pas vérifié).
Ta deuxième référence est très étrange : ou bien ils utilisent $G_i$ pour désigner ce qu'on appelle habituellement les groupes de ramification en notation supérieure, ou bien l'énoncé que tu en as extrait est faux. Quelle est leur définition de $G_i$ ?
Pour répondre à ta question dans le message précédent : ce n'est pas la même chose. Le premier est $G_i$ et le second est $G^i$.
Aurel -
Voici la définition des groupes de ramification (notation inférieure, il me semble..) dans la deuxième référence
Pourriez vous expliquer la notation dans Serre? -
Ce sont bien les groupes de ramifications usuels en notation inférieure. Du coup, la description qu'ils en donnent pour les corps cyclotomique est tout simplement fausse.
Peux-tu préciser ta question ? Je ne comprends pas ce que tu entends par "expliquer la notation dans Serre".
Aurel
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