Calcul des groupes de ramification

Je souhaite calculer les groupes de ramification de l'extension $\Bbb Q_p(\zeta_{p^n})/\Bbb Q_p$.
L'extension est totalement ramifiée d'uniformisant $1-\zeta_{p^n}$.
Le $i$-ième groupe de ramification est donné par
\begin{align*}
G_i &=\{\sigma\in G\mid v_L\Big(\sigma(1-\zeta_{p^n})-(1-\zeta_{p^n})\Big)\geq i+1 \} \\
&\cong\{k\in (\Bbb Z/p^n\Bbb Z)^\times \mid v_L(\zeta_{p^n}^{k-1}-1)\geq i+1\},

\end{align*} Je calcule cette valuation en utilisant la formule $v_L(-)=\frac{1}{f_{L/K}} v_p(N_{L/\Bbb Q_p}(-))$.

Si $p\nmid k-1$, alors $v_L(\zeta_{p^n}^{k-1}-1)=v_p(p)=1$.
Si on écrit $k-1=p^{a}b$ with $p\nmid b$ et $K=\Q_p(\zeta_{p^{n-a}})$. Par la transitivité de la norme,
\begin{align*}
v_L(\zeta_{p^n}^{k-1}-1)&=v_p\left(N_{L/\Q_p}(\zeta_{p^n}^{k-1}-1)\right)\\
&=v_p\Big(N_{K/\Q_p}\circ N_{L/K}(\underbrace{\zeta_{p^{n-a}}^b-1}_{\in K})\Big)\\
&=[L:K]\cdot v_p\left(N_{K/\Q_p}(\zeta_{p^{n-a}}^b-1)\right)\\
&=[L:K]=p^a=p^{v_p(k-1)}.

\end{align*} Or, ceci n'est pas correct.. La réponse devrait être $v_p(k-1)$.. Est-ce que quelqu'un voit l'erreur ? Je ne la vois pas ...