un exo de probas(simulation)

Bonjour,

petite indication : $X=\frac{1}{1+U}$ sachant que $\frac{1}{1+U}

Bon, déja on va se replacer dans un cadre strictement mathématique.

Tu as 2 v.a continues : on va poser U qui est une loi uniforme, et V qui est la loi recherchée. V est exprimée en fonction de U.
Tu as V = 1/(1+U)

U est définie sur [0,1] (telle la fonction random en info) , dans ce cas on a :
0< U <1
1< 1+U <2
1/2 < 1/(1+U) < 1
1/2 < V < 1

Donc la fonction de répartition de V peut prendre des valeurs positives sur l'intervalle [1/2 , 1] et sera nulle ailleurs ; 3/4 y est bien inclus donc ta fonction de répartition est positive sur [1/2 ; 3/4] et nulle ailleurs

Tu définit la fonction de répartition de V par la proba : P(V <= v)
D'où :
P (1/(1+U) <= v)
Ce qui revient à dire que P(V <= v) = 1 - P(U <= (1-v)/v )

Tu connais la fonction de répartition de U (loi uniforme)
Il ne reste plus qu'à l'intégrer entre moins l'infini et cette nouvelle borne.

Et là si je ne me plante pas (car probas et le calcul ne font plus partie de mes activités depuis pas mal de temps !) on doit trouver :

P(V <= v) = 1 - (1- 2v + v^2)/v^2
= (2v - 1) / v^2 pour v dans l'intervalle [1/2 ; 3/4 ] et 0 sinon

A faire vérifier par ceux qui sont encore dans le bain

oops oops oops....!

J'ai fait appel à des souvenirs un peu trop anciens (j'avais prévenu) ! et j'ai fait ça en 2mn au boulot (j'ai un peu de tps libre aujourd'hui...)
Tes remarques raniment en moi des vieux reflexes perdus.
Cela peut paraitre d'un ridicule êxtreme, mais j'ai confondu densité et fonction de repartition, et j'ai aussi mal formulé ma loi uniforme ds le calcul...

Cependant j'ai repris tout ceci plus rigoureusement, et je ne parviens pas à ton résultat (je ne prétend pas avoir raison).

La fonction de répartition de la loi uniforme sur [a;b] vaut

F(x) = 0 pour x<a
F(x) = (x-a)/(b-a) pour x appartenant à [1/2;3/4]
F(x) = 1 pour x > b

On recherche la fonction de répartition de V

On a :
F(v) = 0 pour v<1/2
F(v) = 1 pour v>3/4

Et entre 1/2 et 3/4 :

F(v) = 1 - ( (1-v)/v - 1/2 ) / ( 3/4 - 1/2 ) = 7 - 4/v


Est-ce exact ?

La formule entre 1/2 et 3/4 est forcément fausse, car pour v compris entre 1/2 et 3/4 elle fournit des F(v) compris entre -1 et 5/3, or F est forcément comprise entre 0 et 1.

Désolé d'insister ... :-)